2.2.1 不等式及其性质 第1课时课件-2023-2024学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册

2.2.1 不等式及其性质 新授课 2.2 不等式 第1课时 1.掌握不等式5个性质与2个推论 2.掌握作差法、综合法证明不等式 新课讲授 学习目标 课堂总结 2 情境与问题： 某品牌酸奶的质量规定，酸奶中脂肪的含量f应不小于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，这可以用不等式表示为______________________. 若f ≥2.5%且p≥2.3% 新课讲授 学习目标 课堂总结 在不等式符号中，要特别注意“≥”“≤”．事实上，住意给定两个实数a，b，那么 a≥b⇔a＞b或a＝b； 知识点1：不等式的性质 思考：5≥3，2≥2，2≤2这三个命题都是真命题吗？ 不等式是刻画不等关系的工具，我们用数学符号“≠”“＞”“＜” “≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，称为不等式． a≤b⇔a＜b或a=b. 新课讲授 学习目标 课堂总结 怎样理解两个实数之间的大小呢？ 设点P对应的数为x,则称x为点P的坐标，并记作P(x). 由于数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系. 如图，A(a)在B(b)的左边时，a＜b；A(a)在B(b)的右边时，a＞b． 新课讲授 学习目标 课堂总结 要比较两个实数关a，b的大小，只要考察a-b与0的相对大小就可以了，即 新课讲授 学习目标 课堂总结 性质1 如果a>b，那么a+c>b+c. 性质2 如果a>b，c>0，那么ac>bc. 性质3 如果a>b，c<0，那么ac<bc. 思考：初中学过的不等式有哪些性质？利用前面的知识，给出性质1的直观理解以及这三个性质的证明. 性质1：因为 (a+c)-(b+c)=a+c-b-c=a-b，且 a＞b， 点A和B'的相对位置保持不变 因此 a+c>b+c. 所以a-b＞0，从而 (a+c)-(b+c)＞0； 新课讲授 学习目标 课堂总结 性质2：因为ac－bc＝（a－b）c， 又因为a＞b，所以a－b＞0，而c＞0，因此（a－b）c＞0， 因此ac－bc＞0，即ac＞bc． 性质3：因为ac－bc＝（a－b）c， 又因为a＞b，所以a－b＞0，而c＜0，因此（a－b）c＜0， 因此ac－bc＜0，即ac＜bc． 新课讲授 学习目标 课堂总结 （1）a＞b是a＋c＞b＋c的_______条件； 思考：你会用充分条件、必要条件来描述不等式的性质吗？试用“充分不必要”“必要不充分”“充要”填空： （2）如果c＞0，则a＞b是ac＞bc的_______条件； （3）如果c＜0，则a＞b是ac＜bc的_______条件． 充要 充要 充要 新课讲授 学习目标 课堂总结 性质4 如果a＞b,b＞c,那么a＞c (传递性) 在不等式的证明与求解中，还经常用到以下不等式的性质： 证明：因为a－c＝(a－b)+(b－c)， 又因为a＞b，所以a－b＞0； 且b＞c，所以b－c＞0，因此(a－b)+(b－c)＞0， 从而a－c＞0，即a＞c． 新课讲授 学习目标 课堂总结 性质5 如果a＞b⇔b＜a (对称性) 不等式性质对任意满足条件的实数都成立，因此我们可以用任意满足条件的式子去代替其中的字母． 新课讲授 学习目标 课堂总结 推论1 如果a＋b＞c，那么a＞c－b． 利用不等式的性质，还可以得到关于不等式的推论. 知识点2：不等式的推论 证明 a＋b＞c⇒a＋b＋（－b）＞c＋（－b）⇒a＞c－b． 推论1表明，不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边． 推论1通常称为不等式的移项法则． 新课讲授 学习目标 课堂总结 推论2 如果a＞b，c＞d，那么a＋c＞b＋d． 证明　根据性质1有a＞b⇒a＋c＞b＋c，c＞d ⇒b＋c＞b＋d， 再根据性质4可知a＋c＞b＋d． 有限个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向. 新课讲授 学习目标 课堂总结 例1 比较x2－x和x－2的大小. 解：因为（x2－x）－（x－2）＝x2－2x＋2＝（x－1）2＋1， 又因为（x－1）2≥0，所以（x－1）2＋1≥1＞0， 从而（x2－x）－（x－2）＞0，因此x2－x＞x－2． 新课讲授 学习目标 课堂总结 归纳总结 通过比较两式之差的符号来判断两式的大小，这种方法通常称为作差法． （1）作差：对要比较大小的两个代数式作差． （2）变形：对差进行变形（因式分解或者配方等）． （3）判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号． （4）作出结论． 作差法的步骤： 新课讲授 学习目标 课堂总结 已知a，b为正数，且a≠b，比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小． 练一