难点冲刺06 求数列的前n项和-2023-2024学年高二数学上学期重难热点提升精讲与过关测试（人教A版2019）

难点冲刺06求数列的前n项和 一、公式法求和 （1）等差数列的前项和， （2）等比数列的前项和， （3）一些常见的数列的前项和:； 二、倒序相加法 如果一个数列的前项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则可使用倒序相加法求数列的前项和 三、分组求和法: （1）适用于的形式,其中数列是等差数列或等比数列 （2）适用于的形式 四、并项求和法: 适用于通项公式中含或，该数列的相邻两项(三项或多项)并成“大项”之后,各个“大项”又呈现出有规律特征,进而通过“大项”的求和得出结果 五、裂项相消法 （1）等差型: （2）根式型： （3）指数型：， 六、错位相减法: 适用于,其中中一个是等差数列,另一个是等比数列-求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比,然后再将所得新和式与原和式相减,转化为同倍数的等比数列求和. 题型一 公式法 【例1】已知在等差数列中，． (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前项和，则当为何值时取得最大，并求出此最大值． 【例2】设等比数列满足，． (1)求的通项公式及前n项和： (2)已知是等差数列，且，为其前n项和，求的公差d和． 【变式1-1】已知等比数列满足：，. (1)求数列的通项公式； (2)求的值． 【变式1-2】在等差数列中，. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【变式1-3】已知：等比数列的首项，公比，前项和为． (1)求的通项公式及前项和； (2)若，求的前项和． 题型二 倒序相加法 【例3】已知函数，数列为等比数列，，且，利用课本中推导等差数列前项和的公式的方法，则（    ） A． B．2017 C．4034 D．8068 【例4】德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子，19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》．在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法，现有函数，设数列满足（），则 ． 【变式2-1】已知函数，则 ；设数列满足，则此数列的前2023项的和为 ． 【变式2-2】已知函数为奇函数，且，若，则数列的前2022项和为 . 【变式2-3】已知数列的前项和为，且，设函数，则 ， . 题型三 分组求和法 【例5】已知数列满足，，. (1)证明：数列是等比数列，并求出数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【例6】设数列的前n项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前2n项和. 【变式3-1】已知等差数列的首项为1，公差为2．正项数列的前项和为，且． (1)求数列和数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【变式3-2】已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【变式3-3】已知数列的前项和满足：． (1)求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 题型四 并项求和法 【例7】已知数列的前项和为，，则（    ） A．122 B．120 C．2 D． 【例8】已知等差数列中，，则数列的前2024项和 . 【变式4-1】已知数列，满足，，. (1)证明：为等差数列. (2)设数列的前项和为，求. 【变式4-2】数列的通项公式为，前项和为，则 ． 【变式4-3】设数列 的通项公式为，其前项和为，则 题型五 绝对值数列求和 【例9】若等差数列的首项，，记，则 ． 【例10】在等比数列中，，公比，且，又与的等比中项为2. (1)求数列的通项公式； (2)若，求的前项和. 【变式5-1】已知数列满足，，设的前项和为， (1)求数列的通项公式； (2)求； (3)求． 【变式5-2】已知数列的前n项和为，且 (1)求数列的通项公式; (2)求数列的前n项和 【变式5-3】已知数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前10项和. 题型六 裂项相消法 【例11】在等差数列中，，. (1)求的通项公式； (2)设数列的前项和为，证明：. 【例12】已知一次函数的图象过点和．数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)已知数列满足，证明：． 【变式6-1】设正项等比数列，，且、的等差中项为． (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前项为，数列满足，为数列的前项和，求． 【变式6-2】已知数列满足: . (1)求数列的通项公式; (2)设, 求数列的前项和为. 【变式6-3】已知等比数列的前n项和. (1)求数列的通项公式. (2)若为数列的前