1.3正方形的性质与判定（第2课时正方形的判定）课件-2023-2024学年北师大版数学九年级上册

1.3正方形的性质与判定（第2课时正方形的判定） 图形 正方形的判定 几何语言 ⁠ 在矩形基础上的判定 判定1：有一组邻边相等的矩形是正方形 如图，∵四边形ABCD是矩形， 　AB＝BC（答案不唯一）　⁠，∴四边形ABCD是正方形  判定2：对角线互相垂直的矩形是正方形 如图，∵四边形ABCD是矩形， 　AC⊥BD　⁠，  ∴四边形ABCD是正方形 AB＝BC（答案不唯 一）　 AC⊥BD　 知识点突破 图形 正方形的判定 几何语言 ⁠ 在菱形基础上的判定 判定3：有一个角是直角的菱形是正方形 如图，∵四边形ABCD是菱形， 　∠BAD＝90°（答案不唯一）　⁠，∴四边形ABCD是正方形  判定4：对角线相等的菱形是正方形 如图，∵四边形ABCD是菱形， 　AC＝BD　⁠，  ∴四边形ABCD是正方形 ∠BAD＝90°（答案 不唯一）　 AC＝BD　 ⁠ 先证明是矩形，再证明是正方形 例1　如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点B作AC的平行线，过点C作DB的平行线，它们相交于点E.求证：四边形OBEC是正方形. 证明：∵BE∥OC，CE∥OB， ∴四边形OBEC是平行四边形. ∵四边形ABCD是正方形， ∴OC＝OB，AC⊥BD． ∴∠BOC＝90°. ∴四边形OBEC是矩形. ∵OC＝OB， ∴四边形OBEC是正方形. 1.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD垂直平分EF，DE⊥AB，垂足为点E，连接EF.求证：四边形AEDF是正方形. 证明：∵AD垂直平分EF，∴DE＝DF. ∴△DEF是等腰三角形. 又AD⊥EF.∴∠EDA＝∠FDA． ∵DE＝DF，∠EDA＝∠FDA，AD＝AD， ∴△AED≌△AFD（SAS）. ∴∠AED＝∠AFD． ∵DE⊥AB，∴∠AED＝∠AFD＝90°. ∴∠AED＝∠AFD＝∠EAF＝90°. ∴四边形AEDF是矩形. ∵EF⊥AD， ∴四边形AEDF是正方形. ⁠ 先证明是菱形，再证明是正方形 例2　如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE.求证：四边形BECF是正方形. 证明：∵BF∥CE，CF∥BE， ∴四边形BECF是平行四边形. ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°，∠DCB＝90°. 又∵BE平分∠ABC，CE平分∠DCB， ∴∠EBC＝∠ABC＝45°， ∠ECB＝∠DCB＝45°. ∴∠EBC＝∠ECB． ∴EB＝EC． ∴四边形BECF是菱形. 在△EBC中，∵∠EBC＝45°，∠ECB＝45°， ∴∠BEC＝90°. ∴菱形BECF是正方形. 2.如图，已知在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是DB延长线上一点，且△ACE是等边三角形.若∠AEB＝2∠EAB，求证：四边形ABCD是正方形. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝CO. ∵△ACE是等边三角形， ∴AE＝CE. ∴BD⊥AC． ∴四边形ABCD是菱形. ∴∠AOE＝90°，∠BAO＝∠DAO. ∴∠AEB＋∠EAO＝90°. ∵△ACE是等边三角形， ∴∠EAO＝60°. ∴∠AEB＝30°. ∵∠AEB＝2∠EAB， ∴∠EAB＝15°. ∴∠BAO＝∠EAO－∠EAB＝60°－15°＝45°. ∴∠BAD＝2∠BAO＝90°. ∴菱形ABCD是正方形. ⁠通过特殊四边形间的关系图选择判定四边形为正方形的思路 ⁠ 1.在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°.若再添加一个条件使四边形ABCD是正方形，则此条件是（　D　） A．∠D＝90° B．AB＝CD C．AD＝BC D．BC＝CD D 课堂练习 2.已知一个四边形是菱形，要使它成为一个正方形，在下列给出的条件中，可添加（　D　） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．一组邻边相等 D．有一个角是直角 D 3.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E，F两点分别是AB，AC边的中点，则四边形AEDF是 　菱形　⁠，当△ABC满足条件 　∠BAC＝90°（答案不唯一）　⁠（写出一个即可）时，四边形AEDF是正方形.  菱形　 ∠BAC＝ 90°（答案不唯一）　 4.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC，∠ABC的平分线交于点D，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F.求证：四边形CEDF是正方形. 证明：如图所示，过点D作DG⊥AB于点G. ∵DF⊥AC，DE⊥BC， ∴∠DFC＝∠DEC＝90°. 又∠C＝90°， ∴四边形CEDF是矩形. ∵AD平分∠BAC，DF⊥AC，DG⊥AB， ∴DF＝DG.同理可得DE＝DG.∴DE＝DF. ∴四边形CEDF是正方形. 5.如图，在矩形ABCD中，点M