1.2矩形的性质与判定（第3课时矩形的性质与判定的运用)课件 2023-2024学年北师大版数学九年级上册

1.2矩形的性质与判定(第3课时矩形的性质与判定的运用) 矩形的性质与判定综合 1.矩形的性质: (1)矩形具有平行四边形的所有性质; (2)矩形的四个角都是 直角 ; (3)矩形的对角线 相等 . 直角 相等 知识点突破 2.矩形的判定: (1)定义:有一个角是 直角 的平行四边形是矩形; (2)对角线:对角线 相等 的平行四边形是矩形; (3)角:有 三 个角是 直角 的 四边 形是矩形. 直角 相等 三 直角 四边 例1 如图,在 ABC中,AB=AC,点D为BC的中点,且AE∥BC,DE∥AB,DE交AC于点G,连接AD,CE. (1)求证:四边形ADCE是矩形; 证明:∵AE∥BC,DE∥AB, ∴四边形AEDB是平行四边形. ∴AE=DB. ∵点D为BC的中点, ∴BD=CD. ∴AE=CD. 又∵AE∥CB, ∴四边形ADCE是平行四边形. ∵AB=AC,点D为BC的中点, ∴AD⊥BC,即∠ADC=90 . ∴四边形ADCE是矩形. (2)点F在BA的延长线上,请直接写出图中所有与∠FAE相等的角. 解:∠FAE=∠B=∠ACB=∠EAG=∠AEG=∠GDC. 提示:∵AB=AC, ∴∠B=∠ACB. ∵AE∥BC, ∴∠AED=∠EDC,∠EAC=∠ACB,∠FAE=∠B. ∴∠FAE=∠B=∠ACB=∠EAG=∠AEG=∠GDC. 3.如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E是AD的中点,点F,G在AB上,EF⊥AB,OG∥EF. (1)求证:四边形OEFG是矩形; 法1:证明:∵四边形ABCD是菱形,∴OB=OD. 又点E是AD的中点, ∴OE是 ABD的中位线.∴OE∥AB. ∵OG∥EF, ∴四边形OEFG是平行四边形. ∵EF⊥AB,∴四边形OEFG是矩形. 法2:证明:∵四边形ABCD是菱形, ∴BD⊥AC,∠DAO=∠BAO. ∵点E是AD的中点,∴AE=OE=AD. ∴∠EAO=∠AOE.∴∠AOE=∠BAO.∴OE∥FG. ∵OG∥EF,∴四边形OEFG是平行四边形. ∵EF⊥AB,∴四边形OEFG是矩形. (2)若AD=10,EF=4,求OE和BG的长. 解:∵四边形ABCD是菱形, ∴BD⊥AC,AB=AD=10.∴∠AOD=90 . ∵点E是AD的中点,∴OE=AE=AD=5. 由(1)知四边形OEFG是矩形,∴FG=OE=5. ∵AE=5,EF=4, ∴在Rt AEF中,由勾股定理,得 AF==3. ∴BG=AB-AF-FG=10-3-5=2. 例2 如图,在平行四边形ABCD中,AB=2,AD=4,∠ABC=60 ,点E为AD上一点,连接CE,AF∥CE且交BC于点F. (1)求证:四边形AECF为平行四边形; 证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC. ∴AE∥CF. ∵AF∥CE, ∴四边形AECF为平行四边形. (2)求证: AFB≌ CED; 证明:∵四边形ABCD和四边形AECF都是平行四边形, ∴∠B=∠D,AB=CD,AD=BC,AE=CF. ∴BF=DE. 在 AFB和 CED中, ∴ AFB≌ CED(SAS). (3)当DE等于多少时,四边形AECF为菱形; 解:当DE=2时,四边形AECF为菱形. 理由:∵AB=2,AD=4,DE=2, ∴AE=2.∴CF=AE=2. ∵∠B=60 ,AB=2,BF=DE=2, ∴ ABF是等边三角形. ∴AF=AB=2.∴AE=AF. ∴四边形AECF是菱形. (4)当四边形AECF为矩形时,DE等于多少? 解:当四边形AECF为矩形时,∠AEC=90 . ∵∠D=∠ABC=60 ,∴∠DCE=30 . 在Rt CDE中,∠DCE=30 ,∴DE=CD. ∵CD=AB=2,∴DE=1. 4.如图,在平行四边形ABCD中,点O是边BC的中点,连接DO并延长,交AB的延长线于点E,连接BD,EC. (1)求证:四边形BECD是平行四边形; 证明:∵四边形ABCD为平行四边形, ∴AB∥DC,AB=CD.∴∠OEB=∠ODC. 又∵点O为BC的中点, ∴BO=CO. 在 BOE和 COD中, ∴ BOE≌ COD(AAS). ∴OE=OD. ∴四边形BECD是平行四边形. (2)当∠BOD= 90 时,四边形BECD是菱形; (2)提示:∵四边形BECD是平行四边形, ∴当∠BOD=90 时,BC⊥DE. ∵四边形BECD是平行四边形, ∴四边形BECD是菱形. 90 (3)若∠A=50 ,则当∠BOD= 100 时,四边形BECD是矩形. (3)提示:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴∠BCD=∠A=50 . ∵∠BOD=∠BCD+∠ODC, ∴∠ODC=100 -50 =50