专题08 平面向量的应用（知识梳理精讲）-【赢在寒假】2024年高一数学寒假专项课精讲与精练（人教A版2019）

专题08 平面向量的应用 知识点一 正弦定理 （1）正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 公式 常见变形 （1），，； （2），，； （2）面积公式： （r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r．） （3）正弦定理的应用 ①边化角，角化边 ②大边对大角 大角对大边 ③合分比： （4）内角和定理： ① 同理有：，． ②； ③斜三角形中， ④； ⑤在中，内角成等差数列． 题型1：正弦定理的应用 例1．（1）、（2021上·云南大理·高二校考阶段练习）已知角是的内角，则“”是“”的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 （2）、（2022下·甘肃·高二统考学业考试）在中，角的对边分别是，已知，则 ． （3）、（2023上·河北·高三泊头市第一中学校联考期中）设△ABC内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，，则 ． 1．（2017上·宁夏石嘴山·高二石嘴山市第三中学校考期中）在△ABC中，若，，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2023上·河南省直辖县级单位·高二校考阶段练习）已知中，，，，则（    ） A． B．或 C． D．或 3．（2023上·上海松江·高三统考期末）在中，设角及所对边的边长分别为及，若，，，则边长 ． 知识点二 余弦定理 （1）余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c， 定理 余弦定理 公式 ； ； ． 常见变形 ； ； ． 【解题方法总结】 1、方法技巧：解三角形多解情况 在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 解的个数 一解 两解 一解 一解 无解 2、在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用： （1）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”； （2）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”； （3）若式子含有的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”； （4）代数变形或者三角恒等变换前置； （5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用； （6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到． 3、三角形中的射影定理 在 中，；；． 题型2：余弦定理的应用 例2．（1）、（2023上·全国·高三专题练习）的内角，，所对的边分别为，，.已知，则 ． （2）、（2023下·江西·高一校联考期末）已知中角所对的边分别为，若，则 . （3）、（2023上·全国·高三专题练习）在中，，，，则的面积为（　　） A． B． C． D． （4）、（2023下·陕西西安·高一统考期末）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，则（    ） A． B．3 C．6 D． 1．（2023上·新疆·高二学业考试）在中，已知，，，则 . 2．（2023下·山东枣庄·高一统考期中）中，为边的中线，，，，则中线的长为 . 3．（2023下·江西抚州·高一统考期末）若的内角，，所对的边分别为，，，已知，且，则（    ） A．1 B． C． D．2 4．（2023下·河南南阳·高一统考阶段练习）已知的角，，的对边分别为，，，且，，，则（    ） A．4 B．6 C． D． 题型3：判断三角形的形状 例3．（1）、（2023·全国·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“”是“为等腰三角形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 （2）、（2022上·湖南长沙·高二长郡中学校考开学考试）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 （3）、（2023上·全国·高三专题练习）（多选）已知的内角所对的边分别为，下列四个命题中正确的是（    ） A．若，则一定是等腰三角形 B．若，则是等腰三角形 C．若，则一定是等边三角形 D．若，则是直角三角形 1．（2023·四川内江·统考一模）在中，、、分别为角、、的对边，若，则的形状为（    ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 2．（2023上·全国·高三专题练习）已知在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．则为（　　）． A．等腰三角