专题07 平面向量的坐标运算与数量积（知识梳理精讲）-【赢在寒假】2024年高一数学寒假专项课精讲与精练（人教A版2019）

专题07 平面向量的坐标运算与数量积 知识点一 平面向量的坐标运算 1．平面向量的直角坐标运算 （1）平面向量的坐标表示． 在平面直角坐标中，分别取与轴，轴正半轴方向相同的两个单位向量作为基底，那么由平面向量基本定理可知，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数使，我们把有序实数对叫做向量的坐标，记作． （2）向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有 向量向量点． （3）设，，则，，即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差． 若，为实数，则，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应坐标． （4）设，，则=，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标． 2．平面向量的直角坐标运算 ①已知点，，则， ②已知，，则，， ，． ， 【解题方法总结】 （1）向量的三角形法则适用于任意两个向量的加法，并且可以推广到两个以上的非零向量相加，称为多边形法则．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量． 即． （2），当且仅当至少有一个为时，向量不等式的等号成立． （3）特别地：或当且仅当至少有一个为时或者两向量共线时，向量不等式的等号成立． （4）减法公式：，常用于向量式的化简． （5）、、三点共线，这是直线的向量式方程． 题型1：平面向量的坐标运算 例1．（1）、（2024上·辽宁辽阳·高一统考期末）已知向量，，则（   ） A． B． C． D． （2）、（2023下·北京·高二统考学业考试）已知向量，，则 ． 1．（2023下·陕西西安·高一阶段练习）已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2023·上海嘉定·统考一模）已知，则 ． 题型2：平行与垂直 例2．（1）、（2023上·内蒙古通辽·高三校考阶段练习）已知向量，，若，则实数＝ ． （2）、（2023·四川成都·统考二模）已知向量，.若，则 . （3）、（2023上·宁夏吴忠·高二青铜峡市高级中学校考学业考试）已知，，若，则（    ） A．1 B． C． D． 1．（2023上·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知向量，若，则 . 2．（2023上·辽宁·高三校联考阶段练习）已知，，，若，则 . 3．（2023上·北京海淀·高三首都师范大学附属中学校考阶段练习）设平面向量，若，则等于（    ） A．1 B． C．4 D． 知识点二 平面向量的数量积 1．平面向量的数量积 （1）平面向量数量积的定义 已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（或内积），记作，即=，规定：零向量与任一向量的数量积为0．　　　　　　　　　　　　 （2）平面向量数量积的几何意义 ①向量的投影：叫做向量在方向上的投影数量，当为锐角时，它是正数；当为钝角时，它是负数；当为直角时，它是0． ②的几何意义：数量积等于的长度与在方向上射影的乘积． ③设，是两个非零向量，它们的夹角是与是方向相同的单位向量，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．记为． 2．数量积的运算律 已知向量、、和实数，则： ①；②；③． 3．数量积的性质 设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则 ①．②． ③当与同向时，；当与反向时，． 特别地，或．④．⑤． 4．数量积的坐标运算 已知非零向量，，为向量、的夹角． 结论 几何表示 坐标表示 模 数量积 夹角 的充要 条件 的充要 条件 与 的关系 （当且仅当时等号成立） 【解题方法总结】 （1）在上的投影是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以等于0． （2）数量积的运算要注意时，，但时不能得到或，因为时，也有． （3）根据平面向量数量积的性质：，，等，所以平面向量数量积可以用来解决有关长度、角度、垂直的问题． （4）若、、是实数，则（）；但对于向量，就没有这样的性质，即若向量、、满足（），则不一定有，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量． （5）数量积运算不适合结合律，即，这是由于表示一个与共线的向量，表示一个与共线的向量，而与不一定共线，因此与不一定相等． 题型3：平面向量的数量积运算 例3．（1）、（2024上·广东·高二学业考试）设向量，，则（　　） A． B． C．－ D．－ （2）、（2024·全国·模拟预测）已知向量，满足，，则 ． 1．（2023上·广东广州·高三广州市白云中学校考阶段练习）已知向量，，若向量在向量上的投影向量为，则（    ） A． B． C．