专题06 平面向量的概念与线性运算（知识梳理精讲）-【赢在寒假】2024年高一数学寒假专项课精讲与精练（人教A版2019）

专题06 平面向量的概念与线性运算 知识点一 平面向量的有关概念 （1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）． （2）向量的模：向量的大小，也就是向量的长度，记作．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （3）特殊向量： ①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． ②单位向量：长度等于1个单位的向量． ③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：与任一向量平行． ④相等向量：长度相等且方向相同的向量． ⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量． 题型1：平面向量的基本概念 例1．（1）、（2023下·山东菏泽·高一山东省鄄城县第一中学校考阶段练习）下列说法错误的是（    ） A．任一非零向量都可以平行移动 B．是单位向量，则 C． D．若，则 （2）、（2021上·高二课时练习）下列关于空间向量的命题中，真命题的个数是（    ） ①任一向量与它的相反向量不相等； ②长度相等、方向相同的两个向量是相等向量； ③若，则； ④两个向量相等，则它们的起点与终点相同. A．0 B．1 C．2 D．3 （3）、（2023下·四川眉山·高一校考期中）（多选题）给出下列命题，其中假命题为（    ） A．两个具有共同终点的向量，一定是共线向量； B．若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件； C．若与同向，且，则； D．为实数，若，则与共线. 1．（2023下·上海浦东新·高一统考期末）下列说法正确的是（   ） A．若，则与的长度相等且方向相同或相反； B．若，且与的方向相同，则 C．平面上所有单位向量，其终点在同一个圆上； D．若，则与方向相同或相反 2．（2023上·福建厦门·高三福建省厦门第二中学校考开学考试）下列命题不正确的是（   ） A．零向量是唯一没有方向的向量 B．零向量的长度等于0 C．若，都为非零向量，则使成立的条件是与反向共线 D．若，，则 3．（2023上·辽宁沈阳·高一东北育才学校校考期末）（多选题）下列命题中正确的是（    ） A．单位向量的模都相等 B．长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量 C．方向相同的两个向量，向量的模越大，则向量越大 D．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同 知识点二 平面向量的线性运算 （1）向量的线性运算 运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则平行四边形法则 ①交换律 ②结合律 减法 求与的相反向量的和的运算叫做与的差 三角形法则 数乘 求实数与向量的积的运算 （1） （2）当时，与的方向相同；当时，与的方向相同； 当时， （2）共线向量基本定理 如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）． 题型2：平面向量的线性表示 例2．（1）、（2023上·黑龙江·高二统考学业考试）如图，在平行四边形中，（    ） A． B． C． D． （2）、（2023上·辽宁沈阳·高二学业考试）已知四边形为平行四边形，与相交于，设，则等于（    ） A． B． C． D． （3）、（2023下·河南省直辖县级单位·高一河南省济源第一中学校考阶段练习）如图，在中，，P是线段BD上一点，若，则实数m的值为（    ）    A． B． C． D． 1．（2011上·陕西·高一统考期末）如图，在正六边形中，点为其中点，则下列判断错误的是（    ）    A． B． C． D． 2．（2023上·重庆·高三重庆八中校考阶段练习）在中，为边上的中线，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2023上·河北唐山·高三开滦第一中学校考阶段练习）已知△ABC中，M为BC边上一个动点，若，则的最小值为 ． 题型3：平面向量共线的应用 例3．（1）、（2023·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）在中，为上一点，为线段上任一点（不含端点），若，则的最小值是（    ） A．8 B．10 C．13 D．16 （2）、（2022上·陕西渭南·高三校考期末）如图所示，中为重心，过点，，，则 ．    1．（2023·山西·高三校联考阶段练习）如图，在中，D是BC边中点，CP的延长线与AB交于AN，则（    ） A． B． C． D． 2．（2023·广东广州·统考模拟预测）在中，是边上一点，且是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 知识点三 平面向量的基本定理和性质 （1）平面向量基本定理 如果和是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量，都存在唯一的一对实数，使得，我们把不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为，叫做向量关于