专题4-4 数列求通项公式11种题型归类（讲+练）-【巅峰课堂】2023-2024学年高二数学热点题型归纳与培优练（人教A版2019选择性必修第二册）

专题 4.4 数列求通项公式归类 · 一、热考题型归纳 · 【题型一】 归纳型求通项 · 【题型二】 等比等差公式基础型 · 【题型三】 递推基础：累加法 · 【题型四】 递推基础：累积法 · 【题型五】 累加法：换元累加型 · 【题型六】 累加法：列项累加型 · 【题型七】 由sn求an型 · 【题型八】 待定系数型 · 【题型九】 不动点简单型 · 【题型十】 sn与an组合型 · 【题型十一】周期型数列求通项 · 【题型十二】构造二阶含n型等比数列 · 二、培优练 热点考题归纳 【题型一】归纳型 【典例分析】 1.（2023秋·山东济宁·高二嘉祥县第一中学校考期末）观察下面数阵， 则该数阵中第9行，从左往右数的第20个数是（    ） A．545 B．547 C．549 D．551 2.（2023·江苏·高二专题练习）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中有如下俯视图所示的几何体，后人称之为“三角垛”.其最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，则第十层球的个数为（    ） A．45 B．55 C．90 D．110 【提分秘籍】 通过观察几组等式，归纳出一般规律来考查归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质.； 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类： （1）数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等； （2）形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳. 【变式演练】 1.（2021·全国·高二专题练习）1895年，数学家康托尔为了研究有理数是否有限问题，把正有理数如图1进行了排列.将图2中第行第列的数字记为，若，则（    ） A． B． C． D． 2.（2020春·河北邢台·高二校联考）已知数列，则该数列第项是（    ） A． B． C． D． 3.（2023秋·高二课时练习）由恒等式：,可得的值,进而还可以算出、的值，并可归纳猜想得到 .（） 【题型二】等差等比公式基础型 【典例分析】 1.（2022·全国·高二课时练习）在等差数列-5，，-2，，…的每相邻两项中插入一个数，使之成为一个新的等差数列，则新的数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 2.（2022安徽铜陵·高二期末）各项均为正数的等比数列，其前项和为.若，则数列的通项公式为 A． B． C． D． 【提分秘籍】 公式法：若在已知数列中存在：的关系，可采用求等差数列、等比数列的通项公式的求法，确定数列的通项 【变式演练】 1.（2022·全国·高二专题练习）已知正项等差数列的前n项和为，且，若成等比数列，则等差数列的通项公式________． 2.（2021·全国·高二课时练习）在数列中，若，，，则数列的通项公式为___________. 3.（2021·全国·高二）已知数列中，，，则数列的通项公式为______． 【题型三】递推基础：累加法 【典例分析】 1.（2022上·湖南湘西·高二校联考阶段练习）已知数列满足，，则 ． 2.（2022·内蒙古兴安盟·乌兰浩特一中校考模拟预测）已知数列满足则求 【提分秘籍】 对于，利用累加法求通项 【变式演练】 1.（2022·全国·高二专题练习）在数列中，已知，且对于任意的，都有，则数列的通项公式为 A． B． C． D． 2.（2021·高二课时练习）已知数列满足，，则的通项公式为 ，最小值为 ． 3.（2020上·江苏苏州·高二吴江中学校考阶段练习）设数列满足，且，则数列的通项公式为 ：数列前2020项的和为 ． 【题型四】递推基础：累积法 【典例分析】 1.（2021·全国·高二专题练习）已知数列的递推公式为则通项公式______. 2.（2023·辽宁·高二期中（理））已知数列中，,2=，则数列的通项公式为 A． B． C． D． 【提分秘籍】 累乘法：若在已知数列中相邻两项存在：的关系，可用“累乘法”求通项. 【变式演练】 1.（2023·全国·高二专题练习）已知数列的前项和为，则数列的通项公式为___________. 2.（2019·江苏·常熟中学高二阶段练习）已知数列中，,（）则数列的通项公式为______. 3.（2022·高二课时练习）设数列的前项和为，且，为常数列，则 ． 【题型五】累加法：换元型 【典例分析】 1.（2022·高二课时练习）已知数列的首项，且满足，则的最小的一项是 A． B． C． D． 2.