第02讲 一元二次函数、方程和不等式（七大题型）-2024年高一数学寒假衔接知识自学讲义（苏教版2019）

第02讲 一元二次函数、方程和不等式 【题型归纳目录】 【知识点梳理】 知识点一、符号法则与比较大小 实数的符号： 任意，则（为正数）、或（为负数）三种情况有且只有一种成立． 两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质： ①两个同号实数相加，和的符号不变 符号语言：； ②两个同号实数相乘，积是正数 符号语言：； ③两个异号实数相乘，积是负数 符号语言： ④任何实数的平方为非负数，0的平方为0 符号语言：，． 比较两个实数大小的法则： 对任意两个实数、 ①； ②； ③． 对于任意实数、，，，三种关系有且只有一种成立． 知识点二、不等式的性质 不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分 基本性质有： （1）对称性： （2）传递性： （3）可加性：（c∈R） （4）可乘性：a>b， 运算性质有： （1）可加法则： （2）可乘法则： （3）可乘方性： 知识点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据． 知识点三、比较两代数式大小的方法 作差法： 任意两个代数式、，可以作差后比较与0的关系，进一步比较与的大小． ①； ②； ③． 作商法： 任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小． ①； ②； ③． 中间量法： 若且，则（实质是不等式的传递性）．一般选择0或1为中间量． 知识点四、基本不等式 1、对公式及的理解． （1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数； （2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”． 2、由公式和可以引申出常用的常用结论 ①（同号）； ②（异号）； ③或 知识点诠释： 可以变形为：，可以变形为：． 知识点五、用基本不等式求最大（小）值 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等． ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数； ② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值． 知识点诠释： 1、两个不等式：与成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，后者要求a，b都是正数． 2、两个不等式：与都是带有等号的不等式，对于“当且仅当……时，取“=”号这句话的含义要有正确的理解． 3、基本不等式的功能在于“和积互化”．若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值，则“积”有最大值． 4、利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件： ①各项都是正数； ②和（或积）为定值； ③各项能取得相等的值． 5、基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，在应用时一般按以下步骤进行： ①先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数； ②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； ③在定义域内，求出函数的最大或最小值； ④写出正确答案． 知识点六、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况．因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集． 二次函数 （）的图象 有两相异实根 有两相等实根 无实根 知识点七、一元二次不等式恒成立问题 （1）转化为一元二次不等式解集为的情况，即恒成立恒成立 （2）分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题． 【典型例题】 题型一：等式性质与不等式性质 例1．（2024·全国·高一专题练习）已知，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 例2．（2024·全国·高一专题练习）下列不等式中成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 例3．（2024·广东广州·高一广州市白云中学校考阶段练习）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 变式1．（2024·浙江杭州·高一校考）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 题型二：利用基本不等式求最值 例4．（2024·浙江杭州·高一校联考阶段练习）若正数满足. (1)求的最大值； (2)求的最小值. 例5．（2024·新疆阿克苏·高一校考期末）设，且 (1)若，求的最大值； (2)若，求的最小值 例6．（2024·江苏南京·高一江苏省高淳高级中学校联考）已知. (1)求的最小值 (2)求的最小值. 变式2．（2024·浙江·高一校联考）已知实数，均为正实数． (1)若，求的最小值； (2)若，求的最小值．