第07讲 复数的三角表示（2个知识点+方法练+创新练+成果练）-2024年高一数学寒假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（人教A版2019必修第二册）

第07讲 复数的三角表示（2个知识点+方法练+创新练+成果练） 【目录】 【新知讲解】 知识点1.复数的三角表示式 知识点2.复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 【方法练】 【创新练】 【成果练】 【知识导图】 【新知讲解】 知识点1.复数的三角表示式 (1)复数的三角表示式 如图，我们可以用刻画向量大小的模r和刻画向量方向的角来表示复数z. 一般地，任何一个复数z=a+bi都可以表示成r(+i)的形式. (2)辐角的主值 显然，任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍.例如，复数i的辐角是 +2kπ，其中k可以取任何整数.对于复数0，因为它对应着零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辐角也是任意的.我们规定在0<2π范围内的辐角的值为辐角的主值.通常记作argz，即0argz<2π. (3)三角形式下的复数相等 每一个不等于零的复数有唯一的模与辐角的主值，并且由它的模与辐角的主值唯一确定.因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等. 例1．（2023·全国·高一随堂练习）判断下列复数是不是复数的三角形式，并说明理由. (1)； (2)． 例2．（2023·全国·高一随堂练习）在复平面内作出下列复数对应的向量，并用三角形式表示（辐角取主值）： (1)6； (2)； (3)； (4)． 例3．（2023·全国·高一随堂练习）把下列复数表示成代数形式： (1)； (2)． 例4．（2023·全国·高一随堂练习）将复数对应的向量旋转，求所得向量对应的复数． 知识点2.复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 1．复数乘法运算的三角表示及其几何意义 (1)复数乘法运算的三角表示 根据复数的乘法法则以及两角和的正弦、余弦公式，可以得到 =(+i)(+i)=[(+)+i(+)]， 即 (+i)(+i)=[(+)+i(+)]. 这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和. (2)几何意义 两个复数，相乘时，可以像图那样，先分别画出与，对应的向量，，然后把向量 绕点O按逆时针方向旋转角(如果<0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角||)，再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是积.这是复数乘法的几何意义. 2．复数除法运算的三角表示及其几何意义 (1)复数除法运算的三角表示 设=(+i)，=(+i)，且≠，因为(+i)[(-)+i (-)]=(+i)，所以根据复数除法的定义，有=[(-)+i(-)]. 这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐 角减去除数的辐角所得的差. (2)几何意义 如图，两个复数，相除时，先分别画出与，对应的向量，，然后把向量绕点O按 顺时针方向旋转角(如果<0，就要把绕点O按逆时针方向旋转角||)，再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是商.这是复数除法的几何意义. 例一、多选题 1．（2023上·福建莆田·高二莆田一中校考开学考试）已知复数，，，为坐标原点，，，对应的向量分别为，，，则以下结论正确的有（    ） A． B．若，则 C．若，则与的夹角为 D．若，则为正三角形 例二、解答题 2．（2021下·辽宁大连·高一辽师大附中校考阶段练习）设复数， (1)写出的三角形式； (2)复数满足，且在复平面内对应的点在虚轴的负半轴上，，求的代数形式． 3．（2023·全国·高一课堂例题）解方程，并将其所有的根用复平面上的点表示，观察以这些点为顶点的多边形是什么性状． 4．（2023·全国·高一课堂例题）根据乘任意复数z的几何意义计算： (1)； (2)． 【方法练】 一、单选题 1．（2022·高一课前预习）若，则（    ） A．30° B．60° C．90° D．120° 2．（2020·高一课时练习）复数-i的一个立方根是i，它的另外两个立方根是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2022上·广东东莞·高三统考期末）已知复数，是的共轭复数，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（2022下·福建莆田·高一莆田一中校考期中）已知为虚数单位，若，，…，，则.特别地，如果，那么，这就是法国数学家棣莫佛（1667—1754年）创立的棣莫佛定理.根据上述公式，可判断下列命题错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 三、填空题 5．（2021下·上海长宁·高一上海市延安中学校考期末）已知复数在复平面上所对应的向量是，将绕原点顺时针旋转120°得到向量，则向量所对应的复数为 (结果用复数的代数形式表示). 四、解答题 6．（2020·高一课时练习）化简下列各式. （