第八章 成对数据的统计分析（单元知识清单）-【上好课】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第三册）

选择性必修三 第八章 成对数据的统计分析 知识点清单 一、本章思维导图 §8.1　成对数据的统计相关性 知识点一　相关关系 1．相关关系的定义：两个变量有关系，但没有确切到可由其中一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系． 思考　相关关系是函数关系吗？ 答案　不是．函数关系是唯一确定的关系． 2．相关关系的分类 (1)按变量间的增减性分为正相关和负相关． ①正相关：当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势； ②负相关：当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势． (2)按变量间是否有线性特征分为线性相关和非线性相关(曲线相关)． ①线性相关：如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们称这两个变量线性相关； ②非线性相关或曲线相关：如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，我们称这两个变量非线性相关或曲线相关． 知识点二　相关关系的刻画 1．散点图：为了直观描述成对样本数据的变化特征，把每对成对样本数据都用直角坐标系中的点表示出来，由这些点组成的统计图，叫做散点图． 2．样本相关系数 (1)我们常用样本相关系数r来确切地反映成对样本数据(xi，yi)的相关程度，其中r＝. (2)样本相关系数r的取值范围为[－1,1]． ①若r>0时，成对样本数据正相关； ②若r<0时，成对样本数据负相关； ③当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强； ④当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱． §8.2 一元线性回归模型及其应用 1.一元线性回归模型： 称为因变量或响应变量，称为自变量或解释变量，为截距参数，为斜率参数，是与之间的随机误差. 2.经验回归方程： (1)相关概念： 经验回归直线：经验回归方程也称经验回归函数或经验回归公式，图形称为经验回归直线. 最小二乘估计：求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的叫做的最小二乘估计. 残差：对于响应变量，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值称为残差. （2） （3）决定系数： 越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好； 越小，表示残差平方和越大，即模型的拟合效果越差； 3.方法技巧 经验回归方程的求法及应用 在散点图中，样本点大致分布在一条直线附近，利用公式求出, 可写出经验回归方程，利用经验回归模型进行研究，可近似地利用经验回归方程来预测 。 4.方法技巧 一元线性回归模型拟合问题的求解策略 在一元线性回归模型中,R2与相关系数r都能刻画模型拟合数据的效果.|r|越大,R2就越大,用模型拟合数据的效果就越好. §8.3　列联表与独立性检验 知识点一　分类变量 为了表述方便，我们经常会使用一种特殊的随机变量，以区别不同的现象或性质，这类随机变量称为分类变量．分类变量的取值可以用实数表示． 知识点二　2×2列联表 1．2×2列联表给出了成对分类变量数据的交叉分类频数． 2．定义一对分类变量X和Y，我们整理数据如下表所示： X Y 合计 Y＝0 Y＝1 X＝0 a b a＋b X＝1 c d c＋d 合计 a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d 像这种形式的数据统计表称为2×2列联表． 知识点三　独立性检验 1．定义：利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验”．简称独立性检验． 2．χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. 3．独立性检验解决实际问题的主要环节 (1)提出零假设H0：X和Y相互独立，并给出在问题中的解释． (2)根据抽样数据整理出2×2列联表，计算χ2的值，并与临界值xα比较． (3)根据检验规则得出推断结论． (4)在X和Y不独立的情况下，根据需要，通过比较相应的频率，分析X和Y间的影响规律． 思考　独立性检验与反证法的思想类似，那么独立性检验是反证法吗？ 答案　不是．因为反证法不会出错，而独立性检验依据的是小概率事件几乎不发生． 二、本章考点归纳 1、 成对数据的相关关系考点分析 2、 一元线性回归模型及其应用 3、 分类变量与列联表 考点1.变量间相关关系的判断 例1　下表是我国某城市在2017年1月份至10月份各月最低温与最高温 的数据一览表 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 最高温 5 9 9 11 17 24 27 30 31 21 最低温 -12 -3 1 -2 7 17 19 23 25 10 已知该城市的各月最低温与最高温具有线性相关关系，根据该一览表，则下列结论错误的是 A．最低温与最高温为正相关 B．每月最高温与最低温的平均值前8个月逐月增加