人教版2023-2024学年九年级数学上册期末专项训练：《圆的综合》证明题A卷

人教版2023-2024学年九年级数学上册期末专项训练 《圆的综合》证明题A卷 姓名：___________班级：___________考号：___________ 1．如图，在的内接正八边形中，，连接．    (1)求证； (2)的长为 　 　． 2．如图①，在中，为边上的中线，以点为顶点的直角绕点旋转，两边分别与交于点，连接． (1)求证：； (2)若，则面积的最小值为_______； (3)拓展应用：如图②，点是半径为2的正十二边形的中心，点在此正十二边形的边上，连接，若，则阴影部分面积为______． 3．如图，是的直径，，是的弦，，延长到，连接，． (1)求证：是的切线； (2)以为边的圆内接正多边形的周长等于 ． 4．如图，正方形内接于，E是的中点，连接．    (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 5．如图，在矩形中，点是边的中点，是的外接圆，交边于点． (1)求证：； (2)当是以点为中心的正六边形的一边时，求证：． 6．如图，是的外接圆，．点D在上，连结AD，BD，延长CD至点E． 求证：AD平分． 7．如图，四边形内接于，，，垂足为． （1）若，求的度数； （2）求证：． 8．如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°． （1）求证：△ABC是等边三角形． （2）若⊙O的半径为2，求等边△ABC的边心距． 9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知AB＝AC，延长CD至点E，使CE＝BD，连结AE． （1）求证：AD平分∠BDE； （2）若AB∥CD，求证：AE是⊙O的切线． 10．如图1，AB是⊙O的直径，过⊙O上一点C作直线l，AD⊥l于点D． （1）连接AC、BC，若∠DAC=∠BAC，求证:直线l是⊙O的切线； （2）将图1的直线l向上平移，使得直线l与⊙O交于C、E两点，连接AC、AE、BE， 得到图2． 若∠DAC=45°，AD=2cm，CE=4cm，求图2中阴影部分(弓形)的面积． 11．如图所示，圆内接中，，、为的半径，于点，于点，求证：阴影部分四边形的面积是的面积的倍．    12．如图，正方形内接于是的中点，连接. (1)求证：； (2)求证：； 答案： 1．（1）证明：连接，正八边形， ∴，    ，， ， ∴． （2）∵，同理可证：，， ∴四边形为等腰梯形， ， 作，，    ∵， ， 在中，，， ， 同理可得， ∵，，， ∴四边形是矩形， ， ． 2．解、（1）证明：在Rt中，， ， ， ， 为边上的中线， ，，， ， ， ； （2）解：∵， ∴ ∵， ∴当最短时，面积最小， 根据垂线段最短，即，面积最小，如图，    ∵， ∴是等腰直角三角形，， ∴ ∵为边上的中线， ∴， ∴ 解得：，即 ∴， ∴面积的最小值为1； （3）作辅助线如图所示，其中，    由正十二变形的性质可得： 又∵ ∴， 即 ∵， ∴， ∴ ∴， ∵，， ∴ ∵， ∴阴影面积； 3．解、（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 又∵是半径， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴以为边的圆内接正多边形是圆内接正六边形， ∵，，， ∴， ∴以为边的圆内接正六边形的周长为． 故答案为：． 4．解、（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴． （2）解：连接，过点D作交的延长线于F． ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴．    5．解、（1）四边形是矩形，且点是边的中点， 在和中， ， ∴ ； （2）证明：如图，连接，并延长交于点， 四边形是矩形， ∴ ∵，， ∴点、都在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴， ， 是以点为中心的正六边形的一边， 由正六边形性质可得∶， ∵， 是等边三角形， 又 ， ， ． 6．解、∵， ∴， ∵是的外接圆，点D在上， ∴， ∵， ∴， ∵∠ACB和∠ADB是所对圆周角， ∴， ∴， ∴AD平分． 7．（1）解：，， ， 四边形是的内接四边形， ， （2）证明：， ， ， ， ， ， ， ； 8．（1）证明：在⊙O中， ∵∠BAC与∠CPB是 对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角， ∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC， 又∵∠APC＝∠CPB＝60°， ∴∠ABC＝∠BAC＝60°， ∴△ABC为等边三角形； （2）过O作OD⊥BC于D，连接OB， 则∠OBD＝30°，∠ODB＝90°， ∵OB＝2， ∴OD＝1， ∴等边△ABC的边心距为1． 9．（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O ∴∠ABC＋∠ADC＝180° ∴∠ABC＝∠ADE ∵AB＝AC ∴∠ABC＝∠AC