专题08 利用导数研究函数的性质-【备考期中期末】2023-2024学年高二数学上学期阶段复习讲义（人教A版2019选择性必修第二册）

专题08 利用导数研究函数的性质 一、导数与函数的单调性 在内可导函数，在任意子区间内都不恒等于0. 在上为增函数． 在上为减函数． 二、利用导数研究函数的单调性的方法步骤： ①确定函数的定义域； ②求导数； ③由（或）解出相应的的取值范围，当时，在相应区间上是增函数；当时，在相应区间上是减增函数. 特别提醒：讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则． 三、导数与函数的极值 1．函数的极小值： 函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其它点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． 2．函数的极大值： 函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． 极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 3.特别提醒： (1)函数f (x)在处有极值的必要不充分条件是f ′()＝0，极值点是f ′(x)＝0的根，但f ′(x)＝0的根不都是极值点(例如，f ′(0)＝0，但x＝0不是极值点)． (2)极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质．极值点是函数在区间内部的点，不会是端点． 四、导数与函数的最值 1．函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上取得最值的条件 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． 2.若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值． 3．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤 (1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值． (2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 五、常用结论 1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 2.可导函数y＝f (x)的导数为f ′(x)，若f ′(x)为增函数，则f (x)的图象是下凹的；反之，若f ′(x)为减函数，则f (x)的图象是上凸的． 3．在某区间内f ′(x)＞0(f ′(x)＜0)是函数f (x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件． 4．可导函数f (x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f ′(x)≥0(f ′(x)≤0)且f ′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零． 5．若函数f (x)的图象连续不断，则f (x)在[a，b]上一定有最值． 6．若函数f (x)在[a，b]上是单调函数，则f (x)一定在区间端点处取得最值． 7．若函数f (x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点． 题型一 判断或证明函数的单调性 【典例1】【多选题】（2023下·高二课时练习）如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是（    ） A．在区间上是减函数 B．在区间上是减函数 C．在区间上是增函数 D．在区间上是增函数 【典例2】（2021·全国·高考真题（文））已知函数． （1）讨论的单调性； （2）求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标． 【规律方法】 1.利用导数证明或判断函数单调性的思路 求函数f(x)的导数f′(x)：(1)若f′(x)>0，则y＝f(x)在(a，b)上单调递增；(2)若f′(x)<0，则y＝f(x)在(a，b)上单调递减；(3)若恒有f′(x)＝0，则y＝f(x)是常数函数，不具有单调性． 2.解决含参数的函数的单调性问题应注意两点 (1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论． (2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点． 3.当f(x)含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．讨论的标准有以下几种可能：(1)f′(x)＝0是否有根； (2)若f′(x)＝0有根，求出的根是否在定义域内； (3)若在定义域内有两个根，比较两个根的大小． 4.特别提醒：易错点是忽视函数的定义域. 题型二：求函数的单调区间 【典例3】（2023上·辽宁·高三校考期中）已知函数的定义域为，导函数为，且，则的单调递增区间为 ． 【典例4】（2023上·江苏扬州·高二扬州市广陵区红桥高级中学校考阶段