专题06实数的运算、分数指数幂（4大考点+7种题型）-【寒假自学课】2024年七年级数学寒假提升学与练（沪教版）

学科网（北京）股份有限公司 专题06实数的运算、分数指数幂（4大考点+7种题型） 思维导图 核心考点与题型分类聚焦 考点一：实数比较大小 考点二：实数的运算 考点三：近似数与有效数字 考点四：分数指数幂 题型一：实数的大小比较 题型二：实数的混合运算 题型三：新定义下的实数运算 题型四：实数运算的实际应用 题型五：与实数运算相关的规律题 题型六：近似数与有效数字 题型七：分数指数幂 考点一：实数比较大小 正数＞0＞负数； 比较两数大小是中学数学中的基本类型．基本技能，以下介绍几种常用的方法： 1．近似值法：借用两个数的不足和过剩近似值来判别两个数大小的方法； 2．平方法：将两个数先平方，再来判定两个数大小的方法； 3．求差法：先求两个数的差，用差与0作比较来判定两个数大小的方法．即大于、等于、小于0可判定大于、等于、小于； 4．求商法：先求两个数的商，用商与1作比较判定两个数大小的方法．即大于、等于、小于1，可判定正数大于、等于、小于正数； 5．求倒数法：先求两个数的倒数，用倒数的大小来判定两个数大小的方法．即对于符号相同的，两数，若，则；若，则． 考点二：实数的运算 在实数范围内，可以进行加减乘除乘方等运算，而且有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立．实数混合运算的运算顺序与有理数运算顺序基本相同，先乘方．开方．再乘除，最后算加减，同级按从左到右顺序进行，有括号先算括号里的．实数运算的结果是唯一的． 实数运算常用到的公式有： 第一组：；； 第二组：；． 考点三：近似数与有效数字 1．准确数概念： 一般来说，完全符合实际地表示一个量多少的数叫做准确数． 2．近似数概念： 与准确数达到一定接近程度的数叫做近似数（或近似值）． ☆在很多情况下，很难取得准确数，或者不必使用准确数，而可使用近似数． ☆取近似数的方法：四舍五入法，进一法，去尾法（根据具体实际情况使用） 3．精确度概念： 近似数与准确数的接近程度即近似程度，对近似程度的要求，叫做精确度． ☆近似数的精确度通常有两种表示方法： （1） 精确到哪一个数位； （2） 保留几个有效数字． 4．有效数字概念： 对于一个近似数，从左边第一个不是零的数字起，往右到末位数字为止的所有数字，叫做这个近似数的有效数字． 考点四：分数指数幂 把指数的取值范围扩大到分数，我们规定： ，，其中m、为正整数，． 上面规定中的和叫做分数指数幂，是底数． 整数指数幂和分数指数幂统称为有理数指数幂． 题型一：实数的大小比较 【例1】．（2023下·上海长宁·七年级统考期末）比较下列两实数的大小： ． 【变式1】．（2021下·上海宝山·七年级校考期中）比较大小： ．（填“>”或“<”或“=”） 【变式2】．（2022下·上海嘉定·七年级校考期末）比较大小： ．（填“＜”，“＞”或“＝”） 【变式3】．（2021下·上海静安·七年级上海市市西初级中学校考期中）如果，那么在；；；这四个数中，最大的是 ． 题型二：实数的混合运算 【例2】．（2023下·上海·七年级阶段练习）计算： 【变式1】．（2023下·七年级单元测试）计算：． 【变式2】．（2023下·上海徐汇·七年级上海市第二初级中学校考阶段练习）计算： 【变式3】．（2023下·上海宝山·七年级校考阶段练习）计算： 【变式4】．（2021下·上海静安·七年级上海市市北初级中学校考期中）计算：. 【变式5】．（2021下·上海徐汇·七年级校考期中）计算∶． 【变式6】．（2023下·上海浦东新·七年级上海市进才中学校考期末）（1）； （2）． 题型三：新定义下的实数运算 【例3】．（2022上·上海·七年级期末）阅读下列材料，并解决后面的问题． 材料：一般地，n个相同的因数相乘：记为．若，则n叫做以a为底b的对数，记作（即）．例如：，此时3叫做以2为底8的对数，记作（即）；又如：，则4叫做以3为底81的对数，记作（即）．问题： (1)计算以下各对数的值：＝ ，＝ ，＝ ； (2)、、之间满足怎样的关系式： ； (3)由（2）的结果，你能猜测出一个一般化的结论吗？ 猜测： 且 (4)设，请根据幂的运算法则以及对数的定义说明上述结论的正确性． 【变式1】．（2022上·上海杨浦·七年级统考期中）阅读下列材料：让我们来规定一种运算：  ，例如：  ，再如：  ．按照这种运算的规定：请解答下列各个问题： (1)  ______． (2)当  时，求x的值． (3)将下面式子进行因式分解：   【变式2】．（2021下·上海徐汇·七年级校考期中）阅读下列材料并解答问题∶ 对于实数a，我们规定用表示不小于的最小整数，称为a的根整数．如表示不小于的最小整数，即，所以10的根整数为4． (1)计算25的根整数，得_