专题03 中点模型之三线合一模型、垂直平分线模型、平行线夹中点模型-2023-2024学年八年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（北师大版）

专题03 中点模型之三线合一模型、垂直平分线模型、平行线夹中点模型 中点模型是初中数学中一类重要模型，它在不同的环境中起到的作用也不同，主要是结合三角形、四边形、圆的运用，在各类考试中都会出现中点问题，有时甚至会出现在压轴题当中，我们不妨称之为“中点模型”，它往往涉及到平分、平行、垂直等问题，因此探寻这类问题的解题规律对初中几何的学习有着十分重要的意义。 常见的中点模型：①垂直平分线模型；②等腰三角形“三线合一”模型；③“平行线+中点”构造全等或相似模型（与倍长中线法类似）；④直角三角形斜边中点模型；⑤中位线模型；⑥中点四边形模型。本专题就中点模型的后三类模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 模型1：垂直平分线 定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 如图，在三角形ABC中，DE⊥BC，且D为BC中点，则BE=EC。 模型运用条件：当遇到三角形一边垂线过这边中点时，可以考虑用垂直平分线的性质。 例1．（2023上·四川遂宁·八年级校考阶段练习）如图， 已知​中，​为​内一点， 过点​的直线​分别交​于点​．若M在​的中垂线上，​在​的中垂线上，则​的度数为（    ） A．​ B．​ C．​ D．​ 例2．（2023上·江西南昌·八年级校考阶段练习）如图，已知，以A，B两点为圆心的长为半径画圆弧，两弧相交于点M，N，则的周长为（　　） A．8 B． C． D． 例3．（2023上·湖南娄底·八年级统考阶段练习）如图，在中，点是内一点，连接垂直平分，若，则点之间的距离为（    ） A．4 B．8 C．2 D．6 例4．（2023上·湖北恩施·八年级统考期末）如图，在中，，，，，垂直平分BC，若为直线EF上的任意一点，则的最小值是（） A．3 B．4 C．5 D．6 例5．（2022上·山东威海·八年级统考期中）如图，在中，，，．的垂直平分线交于点D，交于点E．的垂直平分线交于点G，交于点F．则的长为（    ） A． B． C． D． 例6．（2023上·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）如图，在中，为钝角，边的垂直平分线分别交于点D，E．(1)若，求的大小；(2)若的平分线和边的垂直平分线相交于点F，过点F作垂直于的延长线于点G，求证：． 模型2：等腰三角形的“三线合一” 定理：等腰三角形底边中线、高线、顶角平分线“三线合一”。 如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，D为BC边上的中点，则∠BAD =∠CAD，AD⊥BC， BD=CD。 模型运用条件：等腰三角形中有底边上的中点时，常作底边的中线。 例1．（2023上·广西崇左·八年级校联考阶段练习）如图，的垂直平分线为，垂足为点 O，点P在上，则下列结论中， 不一定正确的是（     ） A． B． C．平分 D． 例2．（2023上·湖南衡阳·八年级校联考阶段练习）如图，在中，，且，则长为（    ） A．1 B．3 C．2 D．4 例3．（2023·广东梅州·九年级校联考期末）如图，已知，点在边上，，点，在边上，，若，则 ．    例4．（2022下·湖北宜昌·八年级校考期中）如图，在中，D是上一点，，E，F分别是，的中点，，则的长为    例5．（2023上·浙江温州·八年级校联考期中）如图，在中，，为的角平分线，过点E作交于点F，若，则的周长为（   ） A．12 B．16 C．18 D．24 例6．（2023上·湖南长沙·八年级校联考阶段练习）如图，与均为等边三角形，点在边上，，连接．(1)求证：；(2)求的度数；(3)若，求的长． 模型3：“平行线+中点+对顶角”构造全等或相似模型 我们把这种情况叫做平行线间夹中点.处理这种情况的一般方法是：延长过中点的线段和平行线相交，即“延长中线交平行” 如图，AB//CD，点E是BC的中点，可延长DE交AB于点F。 模型运用条件：构造8字型全等（平行线夹中点）。 例1．（2023上·天津西青·八年级统考期末）如图，已知等边，过边上一点P作于点E，点Q为延长线上一点，取，连接，交于M，已知的长为2，则等边三角形的边长为 ． 例2．（2023下·江苏徐州·八年级统考期末）在中，，于点，点为的中点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 例3．（2023上·江苏南京·九年级校考开学考试）如图，的顶点C在等边的边上，点E在的延长线上，G为的中点，连接．若， ，则的长为 ．    例4．（2023下·福建泉州·八年级校考期中）如图，在平行四边形中，，平分交于点，作，垂足在线段上，连接，则下列结论∶①；②点是中点；③；④．一定成立的是（    ） A． B． C． D． 例5．（2023下·辽宁沈阳·七年级校考期中）在数学综合实践课上，老师给出