第03讲 直角三角形（知识解读+达标检测）-2023-2024学年八年级数学下册《知识解读•题型专练》（北师大版）

第03讲 直角三角形 【题型1：已知直角三角形的两边，求第三边长】 【题型2：求直接三角形周长，面积、斜边上的高等问题】 【题型3：等面积法求直接斜边上的高问题】 【题型4：勾股定理的证明】 【题型5：直角三角形的判断】 【题型6：勾股数的应用】 【题型7：勾股定理的逆定理应用】 【题型8 ：直角三角形全等的判定】 【题型9 ：四种命题及其关系】 考点 1：勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2） 利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3） 理解勾股定理的一些变式： ，， . 运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2.用于解决带有平方关系的证明问题； 3.利用勾股定理，作出长为的线段 【题型1：一直直角三角形的两边，求第三边长】 【典例1】直角三角形两条直角边分别为4和6，则斜边长为（　　） A．6 B． C．10 D．6或 【变式1-1】直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，若a＝5，c＝13，则b的值为（　　） A．4 B．8 C．12 D．144 【变式1-2】如图Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝2，则AB的长是（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝5，则AC的长为（　　） A．8 B．或12 C． D．12 【题型2：求直接三角形周长，面积、斜边上的高等问题】 【典例2】已知在△ABC中，AB＝7，AC＝8，BC＝5，则△ABC的面积为（　　） A．17.5 B．20 C． D．28 【变式2-1】如图，∠B＝∠ACD＝90°，AD＝13，CD＝12，BC＝3，则AB的长为（　　） A．4 B．5 C．8 D．10 【变式2-2】如图，直角三角形的三边上分别有一个正方形，其中两个正方形的面积分别是25和169，则字母B所代表的正方形的面积是（　　） A．144 B．194 C．12 D．13 【变式2-3】已知直角三角形的周长为24，斜边长为10，则三角形的面积为（　　） A．12 B．24 C．36 D．48 【题型3：等面积法求直接斜边上的高问题】 【典例3】如图所示，在Rt△ABC中，AB＝8，AC＝6，∠CAB＝90°，AD⊥BC，那么AD的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4.8 【变式3-1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到AB的距离是（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1．点A、B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（　　） A． B． C． D． 【变式3-3】如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，则AC边上的高BD的长为（　　） A．4 B．4.4 C．4.8 D．5 考点2：勾股定理证明 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 　　　 图（1）中，所以. 　　　　　 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 　　　　 　　图（2）中，所以. 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. 　　　　　 　　　　 ，所以. 【题型4：勾股定理的证明】 【典例4】如图，直角三角形ACB，直角顶点C在直线l上，分别过点A、B作直线l的垂线，垂足分别为点D和点E． （1）求证：∠DAC＝∠BCE； （2）如果AC＝BC． ①求证：CD＝BE； ②若设△ADC的三边分别为a、b、c，试用此图证明勾股定理． 【变式4-1】（1）为了证明勾股定理，李明将两个全等的直角三角形按如图1所示摆放，使点A、E、D在同一条直线上，如图1，请利用此图证明勾股定理； （2）如图2，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若点P从点A出发，以每秒4cm的速度沿折线A﹣C﹣B运动，设运动时间为t秒（t＞0），若点P在∠BAC的平分线上，求此时t的值． 【变式4-2】我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积为25，每个直角三角形两直角边的和为7，求中间小正方形的边长． 【变式4-3】如图1，将长为2a+3，宽为3a﹣2的长方形ABCD分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图2），得到大小两个正方形． （1）求