专题03 中点模型之斜边中点模型、中位线模型、中点四边形模型-2023-2024学年八年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（苏科版）

专题03 中点模型之斜边中点模型、中位线模型、中点四边形模型 中点模型是初中数学中一类重要模型，它在不同的环境中起到的作用也不同，主要是结合三角形、四边形、圆的运用，在各类考试中都会出现中点问题，有时甚至会出现在压轴题当中，我们不妨称之为“中点模型”，它往往涉及到平分、平行、垂直等问题，因此探寻这类问题的解题规律对初中几何的学习有着十分重要的意义。 常见的中点模型：①垂直平分线模型；②等腰三角形“三线合一”模型；③“平行线+中点”构造全等或相似模型（与倍长中线法类似）；④直角三角形斜边中点模型；⑤中位线模型；⑥中点四边形模型。本专题就中点模型的后三类模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 模型1：直角三角形斜边中线模型 定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 如图1，若AD为斜边上的中线，则： （1）；（2），为等腰三角形；（3），． 图1 图2 拓展：如图2，在由两个直角三角形组成的图中，M为中点，则（1）；（2）． 模型运用条件：连斜边上的中线（出现斜边上的中点时） 例1．（2023·江苏盐城·统考中考真题）如图，在Rt中，为斜边上的中线，若，则 ． 例2．（2023·辽宁鞍山·校考三模）如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转得到，点A，B的对应点分别是D，E，点F是边的中点，连接，，，则下列说法不正确的是（    ）      A． B． C． D．四边形是平行四边形 例3．（2023·江苏盐城·统考中考模拟）如图，在菱形中，对角线相交于点为中点，．则线段的长为：（  ） A． B． C． D． 例3．（2023·黑龙江·统考中考模拟）如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 例4．（2023·江苏镇江·统考二模）如图，已知， M、N分别是中点，若，则    例5．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在中，，，N是边的中点．D，E分别是边，上的动点，始终保持，M是上的中点，则的最小值为 ．    例6．（2023上·江苏泰州·八年级校考阶段练习）如图，在中，于F，于E，M为的中点．(1)若，，求的周长；(2)若是等边三角形，求的度数．    模型2：中位线模型 三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。 如图，在三角形ABC的AB，AC边的中点分别为D、E，则DE//BC且，△ADE∽△ABC。 中点三角形：三角形三边中点的连线组成的三角形，其周长是原三角形周长的一半，面积是原三角形面积的四分之一。 模型运用条件：构造中位线（出现多个中点时）。 例1．（2023·江苏盐城·统考中考真题）在中，，分别为边，的中点，，则的长为 cm. 例2．（2023·河南平顶山·统考模拟预测）如图，中，，平分，交于点E，平分，交于点F，交于点O，点G，H分别是和的中点，则的长为 ．    例3．（2023下·四川南充·八年级校考期中）如图，已知矩形的面积为1．分别为的中点，若四边形的面积为，分别为的中点，四边形的面积记为，…，依此类推，第n个四边形的面积记为，则 ．    例4．（2023下·湖北襄阳·八年级统考期末）如图，O是矩形的对角线的中点，M是的中点，若，，则四边形的周长为 ．    例5．（2023·广西·统考中考真题）如图，在边长为2的正方形中，E，F分别是上的动点，M，N分别是的中点，则的最大值为 ．    例6．（2023·江苏镇江·统考中考真题）【发现】如图1，有一张三角形纸片，小宏做如下操作：    （1）取，的中点D，E，在边上作；（2）连接，分别过点D，N作，，垂足为G，H；（3）将四边形剪下，绕点D旋转至四边形的位置，将四边形剪下，绕点E旋转至四边形的位置； （4）延长，交于点F．小宏发现并证明了以下几个结论是正确的：①点Q，A，T在一条直线上；②四边形是矩形；③；④四边形与的面积相等． 【任务1】请你对结论①进行证明．【任务2】如图2，在四边形中，，P，Q分别是，的中点，连接．求证：． 模型3：中点四边形模型 中点四边形：依次连接四边形四边中点连线的四边形得到中点四边形。 中点四边形是中点模型中比较经典的应用。中点四边形不仅结合了常见的特殊四边形的性质，而且还会涉及中位线这一重要知识点，总体来说属于比较综合的几何模块。 结论1：顺次连结任意四边形各边中点组成的四边形是平行四边形． 如图1，已知点M、N、P、Q是任意四边形ABCD各边中点，则四边形