专题16 圆中的辅助线模型-2023-2024学年九年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（苏科版）

专题16.圆中的辅助线模型 在平面几何中，与圆有关的许多题目需要添加辅助线来解决。百思不得其解的题目，添上合适的辅助线，问题就会迎刃而解，思路畅通，从而有效地培养学生的创造性思维。添加辅助线的方法有很多，本专题通过分析探索归纳八类圆中常见的辅助线的作法。 模型1、遇弦连半径（构造等腰三角形） 【模型解读】已知AB是⊙O的一条弦，连接OA，OB，则∠A＝∠B． 在圆的相关题目中，不要忽略隐含的已知条件。当我们要解决有关角度、长度问题时，通常可以连接半径构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质、勾股定理及圆中的相关定理，还可连接圆周上一点和弦的两个端点，根据圆周角的性质可得相等的圆周角，解决角度或长度的计算问题 例1．（2023•江苏中考一模）如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，若∠ADC＝125°，则∠BAC的度数是（　　） A．25° B．35° C．45° D．55° 例2．（2023秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）.如图，在中，，以点为圆心，为半径的圆交于点，交千点．若，则弧的度数为 ．    例3．（2023·江苏沭阳初三月考）如图，已知点C是⊙O的直径AB上的一点，过点C作弦DE，使CD=CO．若的度数为35°，则的度数是_____． 例4．（2023·湖南长沙初三二模）如图，在中，点C为弧AB的中点，OC交弦AB于D，如果，，那么OD的长为___． 模型2、遇弦作弦心距（解决有关弦长的问题） 【模型解读】已知AB是⊙O的一条弦，过点OE⊥AB，则AE＝BE，OE2+AE2=OA2。 在圆中，求弦长、半径或圆心到弦的距离时，常添加弦心距，或作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。利用垂径定理、圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系、弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。 一般有弦中点、或证明弦相等或已知弦相等时，常作弦心距。 例1．（2022秋·江苏淮安·九年级校考阶段练习）一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽0.6米，最深处水深0.1米，则此输水管道的半径是（　　）米 A．1 B．0.8 C．0.6 D．0.5 例2．（2023·辽宁九年级期末）如图，在半径为5的⊙O中，、是互相垂直的两条弦，垂足为，且，则的长为（ ） A．3 B．4 C． D． 例3．（2023·广东九年级专题练习）如图，武汉晴川桥可以近似地看作半径为250m的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面AB长度为300m，那么这些钢索中最长的一根为（　　） A．50m B．45m C．40m D．60m 例4．（2023·哈尔滨市九年级期中）如图，在中，，，，以点为圆心，为半径的圆与相交于点，则的长为（ ） A．2 B． C．3 D． 模型3、遇求角可构造同弧的圆周角（圆心角） 【模型解读】如图，已知A、B、P是⊙O上的点，点C是圆上一动点，连接AC、BC，则∠ACB=∠AOB。 例1．（2023·江苏淮安·校考二模）如图，是的外接圆，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 例2．（2023秋·江苏·九年级校考周测）若圆心角，则（　　）    A． B． C． D． 例3．（2022·江苏苏州·统考中考真题）如图，AB是的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若，则 ° 例4．（2023·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，为的两条弦，D，G分别为的中点，的半径为2．若，则的长为（    ）    A．2 B． C． D． 模型4、遇直径作直径所对的圆周角（构造直角三角形） 【模型解读】如图，已知AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，连接AC、BC，则∠ACB=90o。 如图，当图形中含有直径时，构造直径所对的圆周角是解问题的重要思路，在证明有关问题中注意90o的圆周角的构造。 例1．（2023·安徽合肥·校联考模拟预测）如图，AB为的直径，点C，D在上．若，则的度数是（    ） A．15° B．20° C．25° D．30° 例2．（2023·江苏·统考中考真题）如图，是的直径，是的内接三角形．若，，则的直径 ．    例3．（2022秋·江苏扬州·九年级校考阶段练习）如图，和分别是半圆的直径和弦，且，点是上的点，交于点，垂足为点，且：：，若，则 ． 模型5、遇90°的圆周角连直径 【模型解读】如图，已知圆周角∠BAC=90o，连接BC，则BC是⊙O的直径。 遇到90°的圆周角时，常连接两条弦没有公共点的另一端点，得到直径。利用圆周角的性质，可得到直径。 例1．（2023·河南周口·校考模拟预测）中国古代人信奉天圆地方，圆被赋予了吉祥、丰收的意义，圆形门又叫圆月门，如十五满月一样给