第3部分 第52讲 圆的综合题（课件PPT）-【思而优·中考突破】2024年中考数学总复习（广东专用）

24版·数学课件 第52讲　圆的综合题 第三部分　题型突破 1．(2023•内江)如图，以线段AB为直径作⊙O，交射线AC于点C，AD平分∠CAB交⊙O于点D，过点D作直线DE⊥AC，交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F.连接BD并延长交AC的延长线于点M. (1)求证：直线DE是⊙O的切线； 首页 证明：如图，连接OD， ∵ AD平分∠CAB， ∴ ∠1＝∠2. ∵ OA＝OD， ∴ ∠3＝∠2，∴ ∠3＝∠1，∴ OD∥AC. ∵ DE⊥AC， ∴ OD⊥DE. ∵ OD是⊙O的半径， ∴ 直线DE是⊙O的切线． (2)当∠F＝30°时，判断△ABM的形状，并说明理由； 首页 解：△ABM是等边三角形，理由如下： ∵ DE⊥AC，∠F＝30°， ∴ ∠EAF＝60°， ∴ ∠1＝∠2＝30°， ∴ ∠CBD＝∠1＝30°. ∵ AB为⊙O的直径， ∴ ∠ACB＝90°， ∴ ∠ABC＝90°－∠EAF＝30°， ∴ ∠ABM＝∠ABC＋∠CBD＝60°， ∴ △ABM是等边三角形． (3)在(2)的条件下，ME＝1，连接BC交AD于点P，求AP的长． 首页 解：∵ AB是直径， ∴ ∠ADB＝90°， ∴ AD⊥MB. ∵ △ABM是等边三角形， ∴ ∠M＝60°，则∠MDE＝30°，MB＝2MD. ∵ ME＝1， ∴ MD＝2ME＝2，∴ AB＝MB＝4. ∵ AB为⊙O的直径，∠ABC＝30°， 2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，过点O作OD⊥AB于点D，延长DO交⊙O于点P，过点P作PE⊥AC于点E，作射线DE交BC的延长线于点F，连接PF. (1)若∠POC＝60°，AC＝12，求劣弧PC的长(结果保留π)； 首页 (2)求证：OD＝OE； 首页 证明：∵ OD⊥AB，PE⊥AC， ∴ ∠ADO＝∠PEO＝90°. 在△ADO和△PEO中， ∴ △ADO≌△PEO(AAS)， ∴ OD＝OE. (3)求证：PF是⊙O的切线． 首页 证明：如图，连接PC， 由AC是直径知BC⊥AB. 又∵ OD⊥AB， ∴ PD∥BF，∠PDB＝∠B＝90°， ∴ ∠OPC＝∠PCF，∠ODE＝∠CFE. 由(2)知OD＝OE，则∠ODE＝∠OED. 又∵ ∠OED＝∠FEC， ∴ ∠FEC＝∠CFE， ∴ EC＝FC， 由OP＝OC知∠OPC＝∠PCE， ∴ ∠PCE ＝∠PCF. 在△PCE和△PCF中， ∴ △PCE≌△PCF(SAS)， ∴ ∠PFC ＝∠PEC＝90°. ∵ ∠PDB＝∠B＝90°， ∴ ∠DPF＝90°，即OP⊥PF. ∵ OP是⊙O的半径， ∴ PF是⊙O的切线． 首页 3．(2023•荆州)如图，在菱形ABCD中，DH⊥AB于点H，以DH为直径的⊙O分别交AD，BD于点E，F，连接EF. (1)求证：①CD是⊙O的切线； 首页 证明：①∵四边形ABCD是菱形， ∴ AB∥CD. ∵ DH⊥AB， ∴ ∠CDH＝∠DHA＝90°，则CD⊥OD. 又∵ OD为⊙O的半径， ∴ CD是⊙O的切线． 求证：②△DEF∽△DBA； 首页 证明：如图，连接HF， ∴ ∠DEF＝∠DHF. ∵ DH为⊙O直径，∴ ∠DFH＝90°， 而∠DHB＝90°， ∴ ∠DHF＝∠DBA＝∠DEF. 又∵ ∠EDF＝∠BDA∴ △DEF∽△DBA. (2)若AB＝5，DB＝6，求sin ∠DFE. 首页 解：如图，连接AC交BD于点G. 在菱形ABCD中，BD＝6， ∴ AC⊥BD，AG＝GC，DG＝GB＝3，AD＝AB， 4．(综合探究)(2023•长春)(1)【感知】如图①，点A，B，P均在⊙O上，∠AOB＝90°，则锐角∠APB的大小为________度； 首页 45 (2)【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点P在 上(点P不与点A，C重合)，连接PA，PB，PC.求证：PB＝PA＋PC.小明发现，延长PA至点E，使AE＝PC，连接BE，通过证明△PBC≌△EBA，可推得△PBE是等边三角形，进而得证． 首页 下面是小明的部分证明过程： 证明：延长PA至点E，使AE＝PC，连接BE， ∵ 四边形ABCP是⊙O的内接四边形， ∴ ∠BAP＋∠BCP＝180°. ∵ ∠BAP＋∠BAE＝180°， ∴ ∠BCP＝∠BAE. ∵ △ABC是等边三角形． ∴ BA＝BC， ∴ △PBC≌△EBA(SAS)． 请你补全余下的证明过程． 首页 首页 解：补全余下的证明过程如下： ∴ PB＝EB，∠PBC＝∠EBA. ∵ △ABC是等边三角形， ∴ ∠ABC＝60°， ∴ ∠EBA＋∠ABP＝∠PBC＋∠ABP＝∠ABC＝60°， ∴ △PBE是等边三角形， ∴ PB＝