第2部分 第40讲 十字架模型（课件PPT）-【思而优·中考突破】2024年中考数学总复习（广东专用）

24版·数学课件 第40讲　十字架模型 第二部分　专题突破 条件：在正方形ABCD中，EF⊥GH. 结论： GH＝EF. 注意：正方形内十字架模型，垂直一定相等，相等不一定垂直． 首页 类型一 　正方形中的十字模型 1．如图，在正方形ABCD中，E为BC边上一点，连接AE，作AE的垂直平分线交AB于点G，交CD于点F.若DF＝2，BG＝4，则GF的长为________． 首页 解析：如图，连接GE，作GH⊥CD于点H.则四边形AGHD是矩形， 设AG＝DH＝x，则FH＝x－2. ∵ GF垂直平分AE，四边形ABCD是正方形， ∴ ∠ABE＝∠GHF＝90°，AB＝AD＝GH，AG＝GE＝x， ∵ ∠BAE＋∠AGF＝90°，∠AGF＋∠FGH＝90°， ∴ ∠BAE＝∠FGH， ∴ △ABE≌△GHF(ASA)， ∴ BE＝FH＝x－2，AE＝GF. 首页 2．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上，且AE＝DF＝2，BE与AF相交于点O，P是BF的中点，连接OP，若AB＝5，则OP的的长为 ________． 首页 解析：∵ 四边形ABCD为正方形， ∴ ∠BAE＝∠D＝90°，AB＝AD＝BC＝CD， 在△ABE和△DAF中， ∴ △ABE≌△DAF(SAS)，∴ ∠ABE＝∠DAF. ∵ ∠ABE＋∠BEA＝90°， ∴ ∠DAF＋∠BEA＝90°，∴ ∠AOE＝∠BOF＝90°. ∵ ∠ABE＋∠BEA＝90°， ∴ ∠DAF＋∠BEA＝90°， ∴ ∠AOE＝∠BOF＝90°. ∵ 点P为BF的中点， 3．如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，点F在边CD的延长线上，且BE＝DF，连接EF交边AD于点G.过点A作AN⊥EF，垂足为M，交边CD于点N.若BE＝5，CN＝8，则线段AN的长为________． 首页 解析：如图，连接AE，AF，EN. ∵ 四边形ABCD为正方形， ∴ AB＝AD＝BC＝CD，∠ABE＝∠BCD＝∠ADF＝90°. 在△ABE和△ADF中， ∴ △ABE≌△ADF(SAS)， ∴ ∠BAE＝∠DAF，AE＝AF，∴ ∠EAF＝90°， ∴ △EAF为等腰直角三角形． ∵ AN⊥EF， ∴ EM＝FM，∠EAM＝∠FAM＝45°， ∴ △AEM≌△AFM(SAS)，△EMN≌△FMN(SAS)， ∴ EN＝FN. 设DN＝x， ∵ BE＝DF＝5，CN＝8， ∴ CD＝CN＋DN＝x＋8，EN＝FN＝DN＋DF＝x＋5， ∴ CE＝BC－BE＝CD－BE＝x＋8－5＝x＋3. 在Rt△ECN中，由勾股定理，得CN2＋CE2＝EN2， 即82＋(x＋3)2＝(x＋5)2， 解得x＝12， ∴ DN＝12，AD＝BC＝BE＋CE＝5＋x＋3＝20， 首页 条件：在矩形ABCD中，EF⊥GH. 首页 类型二 　矩形内十字架模型 4．如图，在矩形ABCD中，点E是边AB上一点，将△BCE沿CE折叠，使点B落在AD边上的点F处，连接BF.已知AD＝5，AB＝3，则折痕CE的长为 ________． 首页 5．【问题探究】如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，且AE⊥DF. 求证：AE＝DF； 首页 证明：∵ 四边形ABCD是正方形， ∴ AD＝DC，∠ADC＝∠C＝90°，∠AED＋∠DAE＝90°. ∵ AE⊥DF， ∴ ∠AED＋∠CDF＝90°， ∴ ∠DAE＝∠CDF. 在△ADE和△DCF中， ∴ △ADE≌△DCF(ASA)， ∴ AE＝DF. 【知识迁移】如图2，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E在边AD上，点M，N分别在边AB，CD上，且BE⊥MN，求 的值； 首页 解：如图2，过点N作NO⊥AB于点O， ∴ ∠BMN＋∠MNO＝90°， ∵ BE⊥MN， ∴ ∠BMN＋∠MBE＝90°. 又∵ 在矩形ABCD中，∠A＝90°， ∴ ∠MBE＋∠AEB＝90°， ∴ ∠MNO＝∠MBE，∠BMN＝∠AEB， 首页 首页 3 在Rt△BGE中，GE2＝BG2＋BE2， ∴ x2＝42＋(x－2)2， ∴ x＝5， ∴ AB＝9，BE＝3， 在Rt△ABE中，AE＝＝＝3. ∴ FG＝3. 故答案为：3. ∴ OP＝BF. ∵ BC＝AB＝5，CF＝CD－DF＝5－2＝3， ∴ BF＝＝， ∴ OP＝BF＝. 故答案为：. 4 ∴ AN＝＝＝4， 故答案为：4. 结论：＝. ∴ △ABE∽△ONM，∴ ＝， ∵ ON＝BC， ∴ ＝. 【拓展应用】如图3，在平行四边形ABCD中，AB＝m，BC＝n，点E，F分别在边AD，BC上，点M，N分别在边AB，CD上，当∠EFC与∠MNC的度数之间满足什么数量关系时，有＝？试写出