第2部分 第38讲 半角模型（课件PPT）-【思而优·中考突破】2024年中考数学总复习（广东专用）

24版·数学课件 第38讲　半角模型 第二部分　专题突破 条件：△ABC是等边三角形，∠CDB ＝120°，∠EDF＝60°，BD＝CD，旋转△BDE至△CDG. 结论：①△FDE≌△FDG； ②EF＝BE＋CF； ③∠DEB ＝∠DEF. 首页 类型一 　120° 含60° 半角模型 1．在四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN绕点B旋转，它的两边分别交AD，DC(或它们的延长线)于点E，F. (1)当∠MBN绕点B旋转到AE＝CF时(如图1)，试猜想AE，CF，EF之间存在怎样的数量关系？请将三条线段分别填入后面横线中：________＋________＝________(不需证明)； 首页 AE CF EF (2)当∠MBN绕点B旋转到AE≠CF(如图2)时，上述(1)中结论是否成立？请说明理由； 首页 解：成立，理由如下： 如图2，延长FC至点G，使CG＝AE，连接BG， ∵ AB⊥AD，BC⊥CD， ∴ ∠BAE＝∠BCG＝90°. 在△BAE和△BCG中， ∴ △BAE≌△BCG(SAS)， ∴ ∠ABE＝∠CBG，BE＝BG. ∵ ∠ABC＝120°，∠EBF＝60°， ∴ ∠ABE＋∠CBF＝60°， ∴ ∠CBG＋∠CBF＝60°， ∴ ∠GBF＝∠EBF. 在△GBF和△EBF中， ∴ △GBF≌△EBF(SAS)， ∴ EF＝GF＝CF＋CG＝CF＋AE. 首页 (3)当∠MBN绕点B旋转到AE≠CF(如图3)时，上述(1)中结论是否成立？若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明． 首页 解析：如图3，在AE上截取AH＝CF，连接BH， 在△BAH和△BCF中， ∴ △BAH≌△BCF(SAS)， ∴ BH＝BF，∠ABH＝∠CBF. ∵ ∠EBF＝60°＝∠CBF＋∠CBE， ∴ ∠ABH＋∠CBE＝60°. 解：不成立，但满足新的数量关系：AE＝EF＋CF. 首页 ∵ ∠ABC＝120°， ∴ ∠HBE＝60°＝∠EBF. 在△EBF和△EBH中， ∴ △EBF≌△EBH(SAS)， ∴ EF＝EH， ∴ AE＝EH＋AH＝EF＋CF. 条件：△ABC是等腰直角三角形，∠CAB ＝90°，AB＝AC，∠DAE＝45°，旋转△ABD至△ACF(或△ABD沿AD翻折到△AFD)． 结论：①△ADE≌△AFE(或△ACE≌△AFE)； ②DE2＝BD2＋EC2； ③C△CEF＝BC(或C△DEF＝BC). 首页 类型二 　90°含45°半角模型 条件：在正方形ABCD中，∠MAN ＝45°，旋转△ADN至△ABF. 结论：①△AFM≌△ANM； ②MN＝BM＋DN； ③C△MCN＝2AB； ④S△AMN＝S△ABM＋S△ADN. 首页 2．(1)如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是BC，CD边上的动点，且∠EAF＝45°，求证：EF＝DF＋BE.小明发现，当把△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合时能够证明，请你给出证明过程； 首页 证明：∵ 把△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADG， ∴ ∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，BE＝DG. ∵ ∠EAF＝45°， ∴ ∠BAE＋∠FAD＝45°， ∴ ∠DAG＋∠FAD＝45°， ∴ ∠EAF＝∠FAG. ∵ AF＝AF， ∴ △EAF≌△GAF(SAS)， ∴ EF＝FG＝DF＋DG， ∴ EF＝DF＋BE. (2)①如图2，在正方形ABCD中，如果点E，F分别是CB，DC延长线上的动点，且∠EAF＝45°，则(1)中的结论还成立吗？请写出证明过程； 首页 解：不成立，结论：EF＝DF－BE.证明过程如下： 如图2，将△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADM， ∴ ∠EAB＝∠MAD，AE＝AM，∠EAM＝90°， BE＝DM， ∴ ∠FAM＝∠EAF＝45°， ∵ AF＝AF， ∴ △EAF≌△MAF(SAS)， ∴ EF＝MF＝DF－DM＝DF－BE. (2) ②如图3，如果点E，F分别是BC，CD延长线上的动点，且∠EAF＝45°，则EF，BE，DF之间的数量关系是__________________________(不要求证明)． 首页 解析：如图3，将△ADF绕点A逆时针旋转90°至△ABN， ∴ AN＝AF，DF＝BN，∠NAF＝90°. ∵ ∠EAF＝45°， ∴ ∠NAE＝45°， ∴ ∠NAE＝∠FAE. ∵ AE＝AE， ∴ △AFE≌△ANE(SAS)， ∴ EF＝EN， ∴ BE＝BN＋NE＝DF＋EF. 即BE＝EF＋DF. BE＝EF＋DF $$