专题03 几何中的特殊三角形压轴题综合全攻略-【B卷常考模型】2023-2024学年四川成都八年级数学下学期题型全攻略（北师大版）

专题03 几何中的特殊三角形压轴题综合全攻略 类型一、等腰三角形压轴题综合 例1．（等腰三角形）（2022下·四川成都·八年级四川省成都市石室联合中学校考阶段练习）已知：如图，在中，，为边的垂直平分线，以为边作等边三角形，与在直线的异侧，直线交的延长线于点，连接交于点． (1)求证：． (2)求的度数． (3)猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的结论． 例2．（等边三角形）（2023下·四川成都·八年级校考期中）已知是等边三角形．    (1)如图1，也是等边三角形．点A、B、E三点不共线，求证：； (2)如图2，点D是外一点，且，请证明结论； (3)如图3，点D是等边三角形外一点，若．试求的度数． 【变式训练1】．（2021下·四川成都·八年级统考期末）如图1，在等边三角形中，于于与相交于点O． (1)求证：； (2)如图2，若点G是线段上一点，平分，，交所在直线于点F．求证：． (3)如图3，若点G是线段上一点（不与点O重合），连接，在下方作，边交所在直线于点F．猜想：三条线段之间的数量关系，并证明． 【变式训练2】．（1）【感悟】如图1，是的高线，，若，，求的长．小明同学的解法是：将沿折叠，则点C刚好落在边上的点E处．请你画出图形并写出完整的解题过程； （2）【探究】如图2，，为的外角的平分线，交的延长线于点D，则线段、、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明； （3）【拓展】如图3，在四边形中，平分，，，，则的长为__________． 类型二、直角三角形压轴题综合 例1．（直角三角形）（2021下·四川成都·八年级石室中学校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，点O为斜边AC的中点，点E、点F为直角边上的动点（点E在点F的右侧），且∠EOF＝60° (1)如图1，当点E、点F分别在边BC和AB上，且BE＝AF时，求∠OEC的度数． (2)如图2，若点E、点F都在边BC上，当∠OFC＝75°时，说说BF与CE有什么数量关系？并加以证明． (3)如图3，当E、F均在边BC上运动时，做E点关于直线OF的对称点P，若AB＝4，为AB中点，求当PQ最短时，线段PE的长度． 例2．（等腰直角三角形）（2022下·四川成都·八年级校考阶段练习）为等腰直角三角形，，点在边上（不与点、重合），以为腰作等腰直角，． (1)如图，作于，求证：≌； (2)在图中，连接交于，如图，求的值； (3)如图，过点作交的延长线于点，过点作，交于点，连接，当点在边上运动时，探究线段，与之间的数量关系，并证明你的结论． 【变式训练1】．（2023下·四川成都·八年级统考期末）如图，中，，，点是边上一动点，将绕点逆时针旋转得到，交边于点，连接，过点作平分交边于点，连接．    (1)求证：； (2)判断与的数量关系并证明； (3)当时，若，求的面积． 【变式训练2】．在中，，． (1)如图1，点E为外一点，，过B作，垂足分别为E、F．求证：； (2)如图2，点D是上一点，，于E，求证：． (3)如图3，点D为上一点，，过点A作，且，连接．若，求的长度． 【课后训练】 1．（2023下·四川成都·八年级统考期末）已知，与均为等腰直角三角形，且，，其中，绕着A点逆时针进行旋转，连接，．      (1)若旋转至图1位置时，求证：； (2)若旋转至图2位置时，发现B，D，E三点恰好共线，证明：； (3)若旋转至图3位置时，线段恰好垂直于，此时的延长线与交于点F，点F恰好为中点，若，求线段的长． 2．（2022下·四川成都·八年级校考阶段练习）△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，点D在AB边上（不与点A、B重合），以CD为腰作等腰直角△CDE，∠DCE＝90°． (1)如图1，作EF⊥BC于F，求证：△DBC≌△CFE； (2)在图1中，连接AE交BC于M，如图2，求的值； (3)如图，3，过点E作EH⊥CE交CB的延长线于点H，过点D作DG⊥DC，交AC于点G，连接GH，当点D在边AB上运动时，探究线段HE，HG与DG之间的数量关系，并证明你的结论． 3．【问题背景】 如图①，在正方形的内部，作，根据三角形全等的条件，易得，从而得到四边形是正方形． 【类比探究】 如图②，在正三角形的内部，作两两相交于三点． (1)是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明； (2)是否为正三角形？请说明理由； (3)进一步探究发现：的三边存在一定的数量关系，设，请探索之间满足的数量关系． 4．在等腰中，，点和点分别为和边上的点，，与相交于点． (1)当时， ①如图1，直接写出的度数；________． ②如图2，若，作，垂足为点，连接，求证：． (2)当时，如图3，若取得最小值，求出的值． 5．问题背景 如图1，在等腰和等腰中，，，，求证