专题01 角平分线的五种题型-【B卷常考模型】2023-2024学年四川成都八年级数学下学期题型全攻略（北师大版）

专题01 角平分线的五种压轴题型全攻略 【知识点梳理】 1. 过角平分线上一点向角的两边作垂线段： 2. 在角的两边上截取相等的线段，结合角平分线构造全等三角形： 3. 构造等腰三角形： 类型一、作垂线分两边 例1．（2023下·四川成都·八年级统考期末）如图，平分，，点是上的动点，若，则的长的最小值为 ．    例2．（2022上·四川成都·八年级成都七中校考期中）如图，在中，，，边AB的中垂线与的外角的平分线交于点E，过点E作于点F，，则 【变式训练1】．如图，在中，是的平分线，分别为上的点，且，求证：． 【变式训练2】．（2023下·四川成都·八年级校考期末）如图，在中，平分，交于D，点E、G分别在边、上，连接，．过D作于F．已知，，，则的面积为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【变式训练3】．（2023下·四川成都·八年级统考期末）如图，中，，，为的角平分线，过点作的垂线，垂足为点，则的长为 ．    类型二、截线段，构全等 例．（1）【感悟】如图1，是的高线，，若，，求的长．小明同学的解法是：将沿折叠，则点C刚好落在边上的点E处．请你画出图形并写出完整的解题过程； （2）【探究】如图2，，为的外角的平分线，交的延长线于点D，则线段、、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明； （3）【拓展】如图3，在四边形中，平分，，，，则的长为__________． 【变式训练1】．如图，在四边形中，与交于点，平分，平分，．    (1)求的度数； (2)求证：． 【变式训练2】．如图，在中，，的角平分线、相交于点O，求证：．    【变式训练3】．（1）如图1，射线OP平分∠MON，在射线OM，ON上分别截取线段OA，OB，使OA＝OB，在射线OP上任取一点D，连接AD，BD．求证：AD＝BD． （2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，求证：BC＝AC+AD． （3）如图3，在四边形ABDE中，AB＝9，DE＝1，BD＝6，C为BD边中点，若AC平分∠BAE，EC平分∠AED，∠ACE＝120°，求AE的值． 类型三、构造等腰三角形 例．（2022下·四川成都·七年级统考期末）如图，中，的角平分线和边的中垂线交于点D，的延长线于点M，于点N．若，则的长为 ． 【变式训练1】．已知：中，为的中点，平分于，连结，若，求的长． 【变式训练2】．已知：等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°；AC=BC；∠1=∠3；BE⊥AD． 求证：BE=AD． 类型四、作平行构造等腰 例. 如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若FG=4，ED=8，求EB+DC=_________． 【变式训练1】如图，已知△ABC的两边AB=5，AC=8，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，过点O作DE∥BC，则△ADE的周长等于________________． 【变式训练2】 如图①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F. (1)图①中有几个等腰三角形?猜想:EF与BE、CF之间有怎样的关系. (2)如图②,若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗?如果有，分别指出它们.在第(1)问中EF与BE、CF间的关系还存在吗? (3)如图③，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F.这时图中还有等腰三角形吗?EF与BE、CF关系又如何?说明你的理由. 类型五、与一次函数综合 例．（2022上·四川成都·八年级校考阶段练习）如图，在平面有角坐标系中，已知、分别在坐标轴的正半轴上． (1)如图1．若a、b满足，以B为直角顶点，AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形，则点C的坐标是 ； (2)如图2，若，点D是的延长线上一点，以D为直角顶点，为直角边在第一象限作等腰直角，连接，求证：； (3)如图3，设的平分线过点，请问的值是否为定值，请说明理由． 【变式训练1】．（2022下·四川成都·八年级校考阶段练习）如图，点A是射线OE：y＝x（x≥0）上的一个动点，过点A作x轴的垂线，垂足为B，过点B作OA的平行线交∠AOB的平分线于点C (1)若A点坐标为（2，2），求BC的长度； (2)如图2，过点C作CG⊥AB于点G，CH⊥OE于点H，求证：AC平分∠BAE． 【变式训练2】．（2022下·四川成都·八年级成都市树德实验中学校考期中）直线AB与x轴交于A（m，0），与y轴交于点B（0，n），且m，n满足． (1)m= ，S△ABO= ； (2)如图1，D为OA延长线上一动点，以BD为直角