互为反函数的两个函数图象间的关系教学设计-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

课题：互为反函数的两个函数图象间的关系 一、教材分析 本节课是学生在学习了指数函数和对数函数后，对互为反函数的两个函数图象间的关系进一步探究.教材从和这一对具体函数入手，通过在同一坐标系中作图，直观感知两个函数的对称性，并在指数函数图像上取特殊点验证两函数的对称性，进而引导证明和关于直线对称.采用特殊到一般的推理方式引导学生发现上述结论对指数函数及其反函数的图象也成立． 2、 教学目标 　　１.以“映射图”为引导，让学生从函数的三要素认识原函数和反函数的关系，进而鼓励学生求出指数函数反函数的解析式，着重发展学生的逻辑推理素养． ２．在与图象间关系的探究活动中，让学生经历直观感知、特殊点验证、严格证明等过程，最终得出结论，从而培养学生的直观想象和逻辑推理素养． ３.引导学生归纳总结出指数函数及其反函数的图象也关于直线对称，让学生经历从特殊到一般的数学抽象过程，从而发展学生的数学抽象素养. 3、 教学重点和难点 　　重点：通过直观感知、特殊点验证、严格证明方式推理出和关于直线对称． 难点：证明和的图象关于直线对称． 4、 教学过程 （1） 情景引入 师：著名的物理学家爱因斯坦说过这样一段话：学习知识要善于思考，思考、再思考，我就是靠这个方法称为科学家的.今天我们就按照伟人的指引去思考、去探索、去发现互为反函数的两个函数图象之间的关系. 【设计意图】 通过著名物理学家爱因斯坦的话鼓励学生面对未知问题时，要敢于猜想、积极思考. （2） 探究一：反函数概念的理解 问题1：判断集合A、B间的对应关系，是否为函数？ 问题2：若将上述对应关系“反”过来，是否还是函数？ 问题3：对应关系反过来后，函数中的自变量和因变量发生了什么变化？ 　　师生活动：在问题1、问题2、问题3中，师生共同探究，得出答案：集合A、B间的对应关系是函数，对应关系反过来后也是函数，如果函数的对应关系“反过来”后仍是函数，这两个函数就互为反函数.对应关系反过来后，函数的自变量和因变量发生了互换. 【设计意图】 问题1、问题2、问题3的设置有利于引导学生从自变量、因变量和对应关系方面思考原函数和反函数的关系，引导学生加强对反函数概念的理解. 问题4：如果原函数的解析式是,请尝试求其反函数的解析式，说一说求解的过程. 师生活动：学生独立思考后分组讨论，小组选出代表展示成果.教师完善结论：原函数，反解后得到，再得到.并追问和是同一个函数吗？ 思考：如果点在原函数的图象上，那么哪个点一定在其反函数的图象上？ 师生活动：学生经过独立思考得出结论：如果点在原函数的图象上，那么点一定在其反函数的图象上.老师追问：原函数和反函数点的坐标存在联系，那么原函数和反函数的图象间存在什么联系吗？ 【设计意图】 问题5及其追问的设置有助于学生从不同角度辨别之间的关系，进一步帮助学生理解反函数的概念的理解.思考的设置引导学生从原函数和反函数点的联系猜想原函数图象和反函数图象间的关系. （3） 探究二：与图象间的关系 　问题5：在同一坐标系中，分别画出指数函数及其反函数的图象，两个函数图象有什么对称关系吗？ 师生活动：学生通过回顾两个函数的作图过程，通过观察得出两个函数关于直线对称. 问题6.取图象上的几个点，如，关于直线的对称点的坐标是什么？他们在函数的图象上吗？ 师生活动：学生先独立思考后讨论，师生合作探究得到结论.老师提出：通过特殊点的验证，是不是可以证明指数函数及其反函数的图象关于直线对称？学生回答：不可以，特殊点不可以需要任意点满足. 问题7.求证：与的图象关于直线对称. 师生活动：学生思考、讨论，老师在黑板上板书证明图象任意一点关于直线对称点都在函数图象上.老师追问：我们证明了图象任意一点关于直线对称点都在的图象上，是不是就可以说明与的图象关于直线对称？引发学生讨论.学生答：不可以，还需要证明图象任意一点关于直线对称点都在的图象上，师生共同合作，完善证明过程.动画演示：两个函数互为反函数，它们的图象有什么特征. 【设计意图】 问题5、问题6、问题7层层递进，通过图象观察猜想，特殊点的验证，师生合作探究，证明了与的图象关于直线对称，发展了学生的直观想象素养和逻辑推理素养. （4） 探究三：互为反函数的两个函数图象间的关系 问题8：指数函数及其反函数的图象关于直线对称吗？为什么？ 师生活动：学生独立思考后讨论，小组代表分享结论，教师完善结论. 【设计意图】 让学生经历由特殊到一般的数学抽象过程，老师引导学生逐步完善结论，此环节着重发展学生的数学抽象素养. 课堂练习：求出下列函数的反函数，在同一坐标系中画出图象，并判断它们关于直线对称对称吗？ （1） （2） 师生活动：第（1）题学生作答后，教师利用PPT投影讲解；第