2024年广东九年级中考数学专题复习课件专题四 旋转变换与费马点问题

1 旋转方向与旋转效果比较：如图，O是等边△ABC内一点，连接OA，OB，OC. (1)将△ABO绕点A逆时针旋转60°，化散为聚，将OA，OB，OC聚到同一个△COR中； 2 (2)将△ABO绕点A顺时针旋转60°，化聚为散，OB＋OA＋OC＝B′O′＋O′O＋ OC，即将线段OA，OB，OC连起来，适用解决费马点最值问题． 3 1 共端点等线段旋转模型 1．已知，O是等边△ABC内的任一点，连接OA，OB，OC. (1)如图1，若∠AOB＝150°，线段OA，OB，OC之间的数量关系为______________； 解：如图1，将△ABO绕点A逆时针旋转60°得到△ACD， 4 ∴AD＝AO，OB＝CD. 又∵∠OAD＝60°， ∴△AOD是等边三角形． ∴OA＝OD，∠ADO＝60°. 又∵∠AOB＝150°， ∴∠ODC＝90°. ∴OA2＋OB2＝OC2. 5 (2)如图1，若BO＝5，AO＝12，OC＝13，求∠AOB的度数； 解：同(1)可得∠AOB＝150°； (3)如图2，①若等边△ABC的边长为1， 直接写出OA＋OB＋OC的最小值； ②若等边△ABC的边长为1，直接 写出OA＋ OB＋OC的最小值． 6 ∴△ABO≌△AEF，∠FAO＝60°. ∴AO＝AF. ∴△AFO是等边三角形． ∴OA＋OB＋OC＝OF＋EF＋OC. ∴OA＋OB＋OC为最小值时，即求CE. 解：如图2，将△ABO绕点A顺时针旋转60°得△AEF， ∴CE＝ ； ②同理可得OA＋ OB＋OC的最小值为 . 7 2.在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC. (1)如图1，若D为线段BC上任意一点，探究BD，CD，AD三者之间的关系，并证明； 证明：如图1，将△ADC绕点A顺时 针旋转90°到△AD′B位置．则 DC＝BD′，∠D′BA＝45°＝∠ABC. 8 ∴∠D′BD＝90°. ∴BD′2＋BD2＝D′D2. ∵AD′＝AD，∠D′AD＝90°， ∴DD′2＝D′A2＋DA2＝2AD2. ∴BD2＋DC2＝2AD2； 9 (2)如图2，△DAE也为等腰直角三角形，DA与CB交于点M，AE与CB交于点N.探究线段CM，MN，BN的关系； 解：如图2，将△BAN绕点A逆时针旋转90°到△CAN′位置．连接AN′，则∠3＝∠2，AN＝AN′， ∵∠CAB＝90°，∠DAE＝45°， 10 ∴∠1＋∠2＝45°.又∵∠3＝∠2. ∴∠3＋∠1＝45°. ∴∠N′AM＝∠NAM，又∵AN＝AN′，AM＝AM. ∴△AMN′≌△AMN(SAS). ∴N′M＝MN. 又∵∠N′CA＝∠ACB＝∠B＝45°， ∴∠N′CM＝90°. ∴N′C2＋CM2＝N′M2. 即BN2＋CM2＝MN2； 11 (3)如图3，D为△ABC内一点，若AD＝2，BD＝1，CD＝3，求∠ADB的度数． 解：如图3，将△ABD绕点A逆时针旋转90°到△ACD′位置． D′C＝1， CD＝3，CD2＝32＝9， 12 ∴D′D2＋D′C2＝DC2. ∴∠DD′C＝90°. ∵∠AD′D＝45°， ∴∠AD′C＝90°＋45°＝135°. ∴∠ADB＝∠AD′C＝135°. 13 2 四边形邻边相等对角和等于180°或90°旋转模型 3.如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形，∠ADC＝30°，AD＝3，BD＝5，求CD的长． 14 解：如图，以CD为边作等边△CDE，连接AE . ∵∠BCD＝∠BCA＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD＝∠ACE， ∴在△BCD和△ACE中， 15 ∴△BCD≌△ACE(SAS) . ∴BD＝AE. ∴∠ADE＝90°. 又∵∠ADC＝30°， 在Rt△ADE中，AE＝5，AD＝3， ∴CD＝DE＝4 . ∴ 16 4.如图，在四边形ABCD中，DC＝DA，∠ABC＋∠ADC＝180°. (1)求证：BD平分∠ABC； 证明：如图，将△ADB绕点D逆时针旋转到△DCB′位置． ∵∠ABC＋∠ADC＝180°， ∴∠BAD＋∠BCD＝180°. 17 又∵∠BAD＝∠DCB′， ∴∠BCD＋∠DCB′＝180°. ∴点B，C，B′共线． ∵DB＝DB′， ∴∠B′＝∠DBC. ∵∠B′＝∠ABD， ∴∠ABD＝∠DBC. 即BD平分∠ABC. 18 (2)若AB＝2BC，∠ABC＝120°，连接AC，求 的值． 解：∵∠ABC＝120°， ∴∠ABD＝∠DBC＝60°. 又∵BD＝DB′， ∴△BDB′是等边三角形． 设BC＝x，AB＝2BC＝2x，