2024年广东九年级中考数学一轮知识点复习课件第26节　正方形

第26节　正方形 1 1 　正方形的定义及性质 (1)正方形的定义：四条边相等且四个角都是直角的四边形． (2)正方形的性质： ①既具有矩形的性质，又具有菱形的性质； ②正方形的四个角都是直角，四条边都相等； ③正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角； ④正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形； ⑤C正方形ABCD＝4AB，S正方形ABCD＝AB2＝ AC2. 2 1.(1)如图，在正方形ABCD中，AC与BD交于点O， OA＝1，下列判断错误的是 ( ) A. OA＝OB＝OC＝OD＝1 B. 正方形ABCD的面积为2 C. 正方形ABCD的周长为4 D. 图中有8个45°角、4个直角 (2)如图，在正方形ABCD的外侧作等边 △ADE，则∠BED的度数是_____． D 45° 3 常有以下两种思路： 思路一：已知矩形＋“菱形特有基因”： ①有一组邻边相等的矩形是正方形； ②对角线互相垂直的矩形是正方形． 思路二：已知菱形＋“矩形特有基因”： ①有一个角是90°的菱形是正方形； ②对角线相等的菱形是正方形． 2 　正方形的判定 4 证明：∵∠A＝∠B＝∠C＝90°， ① 2.(1)根据图中条件，证明四边形ABCD是正方形． ∴四边形ABCD是矩形． 又∵AB＝AD， ∴矩形ABCD是正方形． 5 ② 证明：∵AB＝BC＝CD＝AD， ∴四边形ABCD是菱形． 又∵∠B＝90°， ∴菱形ABCD是正方形． 6 (2)如图，在反映特殊四边形之间关系的知识结构图中，若下列①②③④表示需要添加的条件，则描述错误的是 ( ) A.①表示有一个角是直角 B.②表示有一组邻边相等 C.③表示四个角都相等 D.④表示对角线相等 C 7 3 　正方形的几个重要结论 结论(提醒：三结论在解答题中不能直接用) 命题1：如图1，P是正方形ABCD对角线上 一点，连接PA，PC，则PA＝PC. 命题2：如图2，在正方形ABCD中，F为 边BC上的点，E，G分别是边AB， CD上的点． (1)若AF⊥EG，则AF＝EG； (2)若AF＝EG，则AF⊥EG. 8 命题3：如图3, P是正方形ABCD对角线上 一点，E为边BC上的点，连接PA， PE. (1)若PE⊥PA，则PA＝PE； (2)若PA＝PE，则PE⊥PA. 9 3.(2022·天河区模拟)如图， 在正方形ABCD中，点P在AC上，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F，EF＝3，则DP的长为_____． 4．(1)如图1，已知E是正方形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于点F，交AD于点G，求证：AE＝BG； 3 图1 10 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB，∠ADE＝∠BAG＝90°. ∵BF⊥AE，∴∠BAF＋∠ABG＝90°. 又∵∠BAF＋∠DAE＝90°，∴∠DAE＝∠ABG. ∴△AED≌△BGA(ASA). ∴AE＝BG. 在△AED和△BGA中， 11 (2)如图2，已知Q为正方形ABCD的边CD上的一个动点，AQ交BD于点M，过点M作MN⊥AQ交BC于点N，过点N作NP⊥BD于点P，求证：①AM＝MN；②BD＝2MP. 证明：①如图2，过点M作MH⊥AB于点H， 过点M作MJ⊥BC于点J， 图2 ∵四边形ABCD是正方形，∴BD平分∠ABC， ∠ABC＝90°. ∵MH⊥AB，MJ⊥BC，∴MH＝MJ，∠HMJ＝90°. 12 ∴AM＝MN. ∴∠HMN＋∠NMJ＝90°. ∵MN⊥AQ，∴∠HMN＋∠AMH＝90°. ∴∠NMJ＝∠AMH. 在△AMH和△NMJ中， ∴△AMH≌△NMJ(ASA). 13 ∵BD＝AC＝2AO，∴BD＝2MP. ∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，BD＝AC，AC＝2AO. ∵NP⊥BM，∴∠PNM＋∠PMN＝90°. 又∵∠OMA＋∠PMN＝90°，∴∠PNM＝∠OMA. ∴△PMN≌△OAM(AAS). ∴MP＝AO. 在△PMN和△OAM中， ②如图3，连接AC交BD于点O. 图3 14 1 　正方形的性质 1.(2023·重庆)如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连接AE，AF，EF，∠EAF＝45°.若∠BAE＝α，则∠FEC一定等