2.2.1 向量的加法运算 教案-2023-2024学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

向量的加法运算 1、 教学目标 1、向量加法运算的三角形法则； 2、向量加法院算的平行四边形法则； 3、向量加法的结合律和交换律； 4、向量加法的三角不等式以及应用。 2、 教学重难点 重点：向量加法的概念，加法的平行四边形法则和三角形法则，向量加法的运算律 难点：向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别与联系 3、 教学设计 1、 复习回顾（情景导入） 天车是大型生产车间或工地进行起重作业的重要设备。如图所示，物体在天车的作用下，同时进行竖直方向的位移和水平方向的位移，实际位移可以看作竖直方向的位移与水平方向的位移合成。 位移是以为邻边的的对角线，位移的合成遵循平行四边形法则 2、 新知概念 2、1向量的加法 2、1、1向量的加法运算 （1）定义：求两个向量和的运算，称为向量的加法。 释义：①两个向量的和仍然是一个向量； ②规定：对于零向量与任意向量，规定： （2）几何意义： ①平行四边形法则：已知两个不共线的向量，如图，在平面内任取一点，作有向线段，以有向线段和为邻边作，则有向线段表示的向量即为向量的和，记作：。这种求两个向量和的作图方法称为向量加法的平行四边形法则。 注意：同起点的两个向量 ②三角形法则：如图，作有向线段，以有向线段的终点为起点，作有向线段，连接得到有向线段，也可以表示向量的和。这种求两个向量和的作图方法称为向量加法的三角形法则。注意首尾相连的两个向量 可以用字母表示如下：（注意观察起点和终点） ③多边形法则（从②延伸）：向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则，即把每个向量平移，使这些向量首尾相连，则由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量就是这些向量的和向量，这个法则称为向量加法的多边形法则，如图。 ④共线向量的和： 若两个共线向量方向相同，则它们和向量的方向与原方向一致，大小为两个向量的大小之和，即；若两个共线向量方向相反且大小不相等，则它们的和向量方向与较大向量的方向一致，大小是两个向量大小差的绝对值，即。互为相反向量的两个向量的和为零向量。即 ⑤向量加法形式的三角不等式 对任意两个向量之间具有怎样的大小关系？（作图） 结论： 分析过程：根据向量的加法运算进行处理 当两个向量不共线时，可以构成三角形，则（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）；当两个向量共线且同向时，；当两个向量共线且反向时，。如图。 对点练习 1、如图，已知向量，求作向量。（三角形法则，平行四边形法则） 解：如下图所示 平行四边形法则：如图，在平面内选定一点，作以为临边作一个平行四边形，则即为 三角形法则：如图，在平面内选定一点，作，则即为 2、轮船从港沿北偏东方向行驶了到达处，再由处沿正北方向行驶到达处。求此时轮船与港的相对位置（精确到） 解：如图，分别表示轮船的两次位移，则表示轮船的合位移，即 设正东方向所在直线为，过点B作的垂线，垂足为点,在中， 2、1、2、向量加法的运算律 （1）结合律： （2）交换律： 对点练习 3、在平行四边形中，下列计算正确的是（ ） A、 B、 C、 D、 解：由向量加法的平行四边形法则可知，，故A正确 ，故B不正确 ，故C不正确 ，故D正确。 2、2、向量的减法 2、2、1定义：向量减向量等于向量加上向量的相反向量，即 （2）几何意义（三角形法则）：如图，给定向量，作有向线段，故，则。即如果把向量与的起点放在点，那么从向量的终点指向被减向量的终点，得到的向量就是。 注意：三角形法则适用于任意向量的加法和减法运算。 （3）向量减法形式的三角不等式 对任意两个向量具有 分析过程：根据向量的减法运算进行处理（结合三角形三边之间的关系） 当两个向量不共线时，可以构成三角形，则；当共线且同向时，若，则与同向，，若，则与反向，，当共线且反向时，与同向，与反向，。 （4）向量形式的三角不等式 向量加法形式的三角不等式和减法形式的三角不等式统称为向量形式的三角不等式 3、 例题讲解 例1、化简： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； 解：（1） （2） （3） （4） （5） （6） 例2、如图1，已知，试用来表示以下向量：①；②；③；④；⑤； 解：尽量构造三角形，使用三角形法则进行处理 例3、如图3，点是外一点，试用表示。 解：构造合适的三角形，使用三角形法则进行处理。 例4、若，求的取值范围； 解：借助向量形式的三角不等式 例5、若向量满足，求的值； 例6、已知，且，探究与的关系，并求。 例7、已知非零向量满足，且，求的值。 例8、如图，四边形的对角线，互相平分，求证：四边形为平行四边形。（