专题4.5 数列求和（5类必考点）-2023-2024学年高二数学必考点分类集训系列（人教A版2019选择性必修第二册）

专题4.5 数列求和 【考点1：倒叙相加法求和】 1 【考点2：分组求和】 2 【考点3：并项求和】 5 【考点4：裂项相消法求和】 7 【考点5：错位相减法求和】 11 【考点1：倒叙相加法求和】 【知识点：倒叙相加法求和】 如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式就是用此法推导的． 1．（2023上·江苏苏州·高二张家港市沙洲中学校考开学考试）已知函数，数列为等比数列，，且，利用课本中推导等差数列前项和的公式的方法，则（    ） A． B．2017 C．4034 D．8068 2．（2023上·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知为正项等比数列，且，若函数，则（    ） A．2023 B．2024 C． D．1012 3．（2023上·福建龙岩·高二校联考期中）已知数列满足，其前项和为，设函数，则（    ） A．0 B．1 C．1012 D．2024 4．（2023·全国·高三专题练习）已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试用推导等差数列前n项和的方法探求：若，则 . 5．（2023上·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知数列满足：（），数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)求. 【考点2：分组求和】 【知识点：分组求和】 若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和后相加减． [方法技巧] 分组求和的常见类型 (1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组转化法求{an}的前n项和． (2)通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和．　　 1．（2023上·江苏淮安·高二校考阶段练习）已知数列的前项和为，，则（    ） A．122 B．120 C．2 D． 2．（2024·全国·模拟预测）在等比数列中，，若，且的前项和为，则满足的最小正整数的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．（2024上·辽宁沈阳·高三沈阳实验中学校联考期末）已知数列是首项为25，公差为的等差数列，则数列的前30项的和为 . 4．（2023上·江苏无锡·高二无锡市第一中学校考阶段练习）已知数列满足，，且，则的前2024项和为 . 5．（2023上·山东临沂·高二校考阶段练习）已知等差数列中，，则数列的前2024项和 . 6．（2023上·重庆·高三重庆市育才中学校联考阶段练习）已知数列中，，且. (1)求的通项公式； (2)求的前10项和. 7．（2023上·湖南长沙·高三统考阶段练习）在数列中，且满足（且）． (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的前项和． 8．（2023上·全国·高三贵溪市实验中学校联考阶段练习）已知数列的前项和为，，等比数列的公比为，． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前10项和． 【考点3：并项求和】 【知识点：并项求和】 在一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解． 例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 1．（2022·河南三门峡·高三阶段练习（文））定义：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的和构成一个等比数列，则称该数列为“和等比”数列。已知“和等比数列的前三项分别为，，则数列的前11项和________． 2．（2022·安徽·高三阶段练习）已知数列满足. (1)求证：数列为等比数列； (2)求数列的前项和. 3．（2022·江苏省江浦高级中学高三阶段练习）已知等比数列的前项和为 为常数）. (1)求的值，并写出数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 4．（2022·福建泉州·高三开学考试）已知数列各项均为正数，且． (1)求的通项公式 (2)设，求． 5．（2021·陕西·无高二期中（理））若数列满足：，点在函数的图象上，其中为常数，且. (1)若成等比数列，求的值； (2)当时，求数列的前21项和. 【考点4：裂项相消法求和】 【知识点：裂项相消法求和】 （1）把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． （2）几种常见的裂项方式 数列(n为正整数) 裂项方式 (k为非零常数) ＝ ＝ ＝－ (a>0，a≠1) loga＝loga(n＋1)－logan [方法技巧] 用裂项法求和