2.6.1 函数的单调性课件-2023-2024学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

2.6.1 函数的单调性 新授课 1.理解导数与函数的单调性的关系. 2.掌握利用导数判断函数单调性的方法. 3.会用导数求函数的单调区间. 新课讲授 学习目标 课堂总结 2 问题导入 我们知道，对于函数y=f（x）来说，导数fʹ（x）刻画的是函数y=f（x）在点x的瞬时变化率，函数的单调性描述的是函数值y随自变量x取值的增加而增加，或函数值y随自变量x取值的增加而减少. 两者都在刻画函数的变化，那么，导数与函数的单调性之间有何关系呢？ 新课讲授 学习目标 课堂总结 知识点1：导数与函数的单调性之间的关系 f'(x)=1 f'(x)=2 f'(x)=-3 1.计算下面几个一次函数的导数，并讨论这些一次函数的单调性. (1)y=f(x)=x； (2)y=f(x)=2x+5； (3)y=f(x)=-3x+4. 函数(1)(2)的导数都是正的，在定义域(-∞,+∞)内函数值都是随x的增加而增加的；函数(3)的导数是负的，在定义域(-∞,+∞)内函数值是随x的增加而减少的. 新课讲授 学习目标 课堂总结 f'(x)=2xln2＞0 2.计算下面指数函数、对数函数的导数，并讨论这些函数的单调性. (1)y=f(x)=2x； (2)y=f(x)= ； (3)y=f(x)= ； (4)y=f(x)= . 对于函数(1)和(3),相应的定义域内的每一个x都满足f'(x)>0,函数y =f(x)在其定义域内是增函数;对于函数(2)和(4)，相应的定义域内的每一个x都满足f'(x)>0,函数y=f(x)在其定义域内是减函数. 新课讲授 学习目标 课堂总结 函数y=f(x)=x2的导数是fʹ(x)=2x,其图象如下. 当自变量x∈(0,+∞)时,fʹ(x)=2x>0,函数y=x2在区间(0,+∞)内单调递增； 当自变量x∈(-∞,0)时,fʹ(x)=2x<0,函数y=x2在区间(-∞,0)内单调递减. 3.幂函数y=f(x)=x2的导数及其单调性. 新课讲授 学习目标 课堂总结 导数的符号与函数的单调性之间具有如下的关系： 归纳总结 （1）若在某个区间内，函数y=f(x)的导数fʹ(x)>0，则在这个区间内，函数y=f(x)单调递增； （2）若在某个区间内，函数y=f(x)的导数fʹ(x)<0，则在这个区间内，函数y=f(x)单调递减. 注意：若在某个区间内,fʹ(x)≥0且只在有限个点为0，则在这个区间内，函数y=f(x)单调递增;若在某个区间内，fʹ(x)≤0,且只在有限个点为0,则在这个区间内，函数y=f(x)单调递减. 新课讲授 学习目标 课堂总结 练一练 C 设f(x)= (x<0)，则f(x)的单调增区间是（ ） A. (-∞，-2) B. (-2，0) C. (-∞，- ) D. (- ，0) 新课讲授 学习目标 课堂总结 例1：讨论函数f(x)=2x3-3x2 -36x+16的单调性. 解：fʹ(x)=6x2-6x-36 = 6(x+2)(x-3). 设 fʹ(x)＞0,则 6(x+2)(x-3)＞0,即 x＜-2 或 x＞3. 故当x∈(-∞,-2)或x∈(3,+∞)时, fʹ(x)＞0, 因此，在这两个区间内，函数 f(x)均单调递增； 当x∈(-2,3)时, fʹ(x)＜0, 因此，在这个区间内，函数 f(x)单调递减. 新课讲授 学习目标 课堂总结 函数的单调性决定了函数图象的大致形状.因此，当确定了函数的单调性后，再通过描出一些特殊的点，如(-2，60)，(3，-65)等，就可以画出函数的大致图象.下图即为函数f(x)=2x3-3x2 -36x+16的大致图象. 新课讲授 学习目标 课堂总结 根据导数确定函数的单调性步骤： 2.求出函数的导数. 1.确定函数f(x)的定义域. 3.解不等式fʹ(x)>0,得函数单调递增区间;解不等式fʹ(x)<0,得函数单调递减区间. 归纳总结 新课讲授 学习目标 课堂总结 练一练 讨论下列函数的单调性： （1）y=2x2-5x+4； （2）y=3x-x3. 解：（1）yʹ=4x-5. 设y ʹ＞0,则4x-5＞0,即 x＞ . 设y ʹ＜0,则4x-5＜0,即 x＜ . 故函数在( ,+∞)单调递增， 在(-∞, )单调递减. （2）yʹ=3-3x2. 设yʹ＞0,则3-3x2＞0,即-1＜ x＜1. 设y ʹ＜0,则3-3x2＜0,即 x