考点32 解直角三角形应用举例-【考点通关】2023-2024学年九年级数学下册考点归纳与解题策略（人教版）

考点32 解直角三角形及其应用举例 1 解直角三角形的概念 1.解直角三角形 一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边两个锐角.由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形。 注意在解直角三角形的问题中，除直角外，还需知道两个条件，其注意中至少有一个条件是边，否则，无法解直角三角形. 2 解直角三角形的基本类型及解题思路 3 解直角三角形的一般方法 先分析出直角三角形中的已知元素，再利用适当的边角关系进行求解。 在解题过程中，一般要选择题目中的原始数据，尽量避免用中间所得的结果（近似值）参与计算. 4 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般步骤 (1)将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题)； (2)根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数等解直角三角形； (3)得到数学问题的答案； (4)得到实际问题的答案。 实际问题中常见的基本模型 重点提醒： (1)根据问题找到要求解的直角三角形，当没有现成的直角三角形时，适当添加辅助线构造（或分割）直角三角形； (2)有些问题中有两个（或两个以上）直角三角形，当其中一个直角三角形不能求解时，可考虑在两个（或两个以上）直角三角形中找出含有相同的未知元素的关系式，运用方程求解。 5 实际问题中常见的概念 注意： (1)在实际问题中，表示物高的线段与水平线垂直，铅垂线与水平线垂直，正北（南）与正东（西）方向垂直，两条表示物高的线段平行这些都是表示垂直（或平行）的隐含条件，注意挖掘和运用； (2)坡度不是角的度数，而是坡角的正切值，不要和坡角混淆。 6 已知直角三角形的两边解直角三角形的方法 （1）已知斜边和一条直角边，通常用勾股定理求出另一条直角边的长，利用已知直角边长与斜边长的比得到其中一个锐角的正弦（或余弦）值，求出该角，再利用两锐角的互余关系求出另一个锐角。 （2）已知两直角边，通常用勾股定理求斜边的长，利用两条直角边长的比得到其中一个锐角的正切值，求出该角，利用两锐角的互余关系求出另一个锐角。 7 已知直角三角形的一角和一边解直角三角形的方法 （1）已知一个锐角和一条直角边，利用两锐角互余的关系求出另一个锐角；利用已知角的正切，求出另外一条直角边的长；当已知直角边是已知锐角的对边时，用这个锐角的正弦求斜边的长，当已知直角边是已知锐角的邻边时，用这个锐角的余弦求斜边的长（在这个过程中，也可以用勾股定理求其中的某条边的长)； （2）已知一个锐角和斜边 通常用两锐角互余的关系求出另一个锐角；利用已知角的正弦和余弦，求出两条直角边的长； 8 求非直角三角形中的边和角的方法 通过作辅助线(或利用图中已有线段)将非直角三角形问题转化成直角三角形问题，这种解决问题的方法叫做“化斜为直”法. 常见作辅助线的技巧如下表 9 利用解直角三角形解决不规则图形问题的方法 常见的有两种解答方法，一是适当添加辅助线，把不规则四边形转化成直角三角形和直角梯形求解；二是通过补形，把不规则四边形转化为直角三角形.两种方法的实质都是将四边形问题转化为直角三角形问题来求解。 考点1 解直角三角形的相关计算 考点2 解非直角三角形 考点3 解不规则图形的边长 考点4 解不规则图形的面积 考点5 仰角和俯角问题 考点6 方位角问题 考点7 坡度坡比问题 考点8 其它问题 考点1 解直角三角形的相关计算 1．（2023上·山东青岛·八年级校联考期中）如图，已知在中，，，点D在边上，，连接AD，． (1)求边的长； (2)求的值． 2．（2023上·山东济宁·九年级校考阶段练习）已知：如图，在中，，，，求．    3．（2023上·江苏徐州·九年级校考阶段练习）已知：如图，是的高，，，．求． 4．（2023上·河南周口·九年级统考阶段练习）在中，，根据下列条件解直角三角形． (1)已知，，求及； (2)已知，，求及． 考点2 解非直角三角形 5．（2023上·安徽六安·九年级校考阶段练习）如图，在中，． (1)求的值． (2)求的面积（结果保留根号） 6．（2023上·江苏泰州·九年级校考期中）如图，是的中线，    求： (1)的长； (2)的正弦值． 7．（2019上·江苏常州·九年级统考期末）某校综合实践小组要对一幢建筑物的高度进行测量.如图，该小组在一斜坡坡脚处测得该建筑物顶端的仰角为，沿斜坡向上走到达处，（即）测得该建筑物顶端的仰角为.已知斜坡的坡度，请你计算建筑物的高度（即的长，结果保留根号）. 8．（2020上·山东烟台·九年级统考期中）如图，在△ABC中，sinB＝，，AC＝5，则△ABC的面积为多少？ 考点3 解不规则图形的边长 9．（2020上·甘肃张掖·九年级校考期中）如图，四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝120°，AB＝12