5.3.2 函数的极值与最大（小）值第3课时 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019)选择性必修第二册

5.3.2 函数的极值与最大（小）值 第3课时 1. 能利用导数解决与函数相关问题. 新课讲授 学习目标 课堂总结 2 知识点 1：导数在函数中的应用 例 1：给定函数 f (x) = (x + 1)ex . （1）判断函数 f (x) 的单调性，并求出 f (x) 的极值； 解：（1）函数的定义域为x∈R. f ´(x) = (x + 1)´ex + (x + 1)(ex)´ = ex + (x + 1)ex = (x + 2)ex， 令 f ´(x) = 0，解得 x = – 2， x (− ∞，− 2) − 2 (− 2，+ ∞) f ′(x) – 0 + f (x) 单调递减 – 单调递增 所以 f (x) 在 (− ∞，− 2) 上单调递减，在 (− 2，+ ∞) 上单调递增； 当 x = − 2 时，f (x) 有极小值 f (− 2) = – . 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 1：给定函数 f (x) = (x + 1)ex . （2）画出函数 f (x) 的大致图象； x (− ∞，− 2) − 2 (− 2，+ ∞) f ′(x) – 0 + f (x) 单调递减 – 单调递增 O 1 x y f (x) = (x+1)ex 1 -2 -1 -1 (-2, ) （2）令 f (x) = 0，解得 x = – 1. 当 x < – 1 时，f (x) < 0；当 x > – 1 时，f (x) > 0. 所以，f (x) 的图象经过特殊点 A (– 2，– )， B (– 1，0)，C (0，1)； 当 x → − ∞ 时，与一次函数相比，指数函数 y = e-x呈爆炸性增长，从而 f (x) = → 0； 当 x → + ∞ 时，f (x) → + ∞，f ´(x) → + ∞； 综上，可画出函数 f (x) 的大致图象如图所示. 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 1：给定函数 f (x) = (x + 1)ex . （3）求出方程 f (x) = a (a∈R) 的解的个数. O 1 x y f (x) = (x+1)ex 1 -2 -1 -1 (-2, ) （3）方程 f (x) = a (a∈𝑅) 的解的个数为函数 y = f (x) 的图象与直线 y = a 的交点个数； 由（1）及右图可得，当 x = – 2 时，f (x) 有极小值 f (− 2) = – ； 所以，关于方程 f (x) = a (a∈𝑅) 的解的个数有如下结论： 当 a < 时，解为 0 个； 当 a = – 或 a ≥ 0 时，解为 1 个； 当 – < a < 0 时，解为 2 个. 新课讲授 学习目标 课堂总结 归纳小结 通常，可以按如下步骤画出函数 f (x) 的大致图象： （1）求出函数 f (x) 的定义域； （2）求导数 f ´(x) 及函数 f ´(x) 的零点； （3）用 f ´(x) 的零点将 f (x) 的定义域划分为若干个区间，列表给出 f ´(x) 在各区间上的正负，并得出 f (x) 的单调性与极值； （4）确定 f (x) 的图象所经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势； （5）画出 f (x) 的大致图象. 新课讲授 学习目标 课堂总结 练一练 1. 利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图象直观验证： sin x < x，x∈(0，π). 解：设 f (x) = sin x – x，x∈(0，π)， ∵ f ´(x) = cos x – 1 < 0，x∈(0，π)， ∴ f (x) = sin x – x 在 x∈(0，π) 内单调递减； 因此， f (x) = sin x – x < f (0) = 0，x∈(0，π)； 即 sin x < x，x∈(0，π) 成立. O x y 1 y = x –1 π y = sin x 函数图象直观验证 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 2：某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料. 瓶子的制造成本是 0.8πr2分，其中 r（单位：cm）是瓶子的半径. 已知每出售 1 mL 的饮料，制造商可获利 0.2 分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6 cm. 当瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？半径多大时，利润最小？ 典例剖析 分析：由题意可知：球形瓶装的体积为：πr3，制造成本是 0.8πr2 分， 所以每瓶饮料的利润为 y = f (r) = 0.2×πr3 – 0.8πr2 = 0.8π( – r2)，0 < r ≤ 6； 再利用导数求解函数的最值即可. 新课讲授 学习目标 课堂总结 解：由分析可