5.3.2 函数的极值与最大（小）值 第2课时课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版(2019）选择性必修第二册

5.3 导数在研究函数中的应用5.3.2.2 函数的最大(小)值 1. 理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系； 2. 会求某闭区间上函数的最值； 3. 能利用函数的最大（小）值证明不等式. 新课讲授 学习目标 课堂总结 2 回顾：求函数极值的一般方法是什么？ 解方程 f ′(x) = 0，当 f ′(x0) = 0 时： （1）如果在 x0 附近的左侧 f ′(x) > 0 ，右侧 f ′(x) < 0 ，那么 f (x0) 是极大值； （2）如果在 x0 附近的左侧 f ′(x) < 0 ，右侧 f ′(x) > 0 ，那么 f (x0) 是极小值. 知识点 1：函数的最值 新课讲授 学习目标 课堂总结 概念讲解 函数的最大(小)值 通过类比极值的概念可得，如果 x0 是某个区间上函数 y = f (x) 的最大(小)值点，那么 f (x0) 不小(大)于函数 y = f (x) 在此区间上的所有函数值. 新课讲授 学习目标 课堂总结 问题 1：函数 y = f (x)，x∈[a，b] 的图象如图所示. 通过观察图象，可以发现：f (x1)，f (x3)，f (x5) 是函数 y = f (x) 的极小值，f (x2)，f (x4)，f (x5) 是函数 y = f (x) 的极大值. 请找出函数y = f (x)在区间[a，b]上的最小值、最大值？ 从图可以看出，函数 y = f (x) 在区间 [a，b] 上的最小值是 f (x3)，最大值是 f (a). 思考：通过上述结论，说说函数的极值与最值有什么区别？ O a b x y x1 y = f (x) x2 x3 x4 x5 x6 新课讲授 学习目标 课堂总结 归纳小结 函数 y = f (x) 的极值与最值的区别： （1）极值是通过比较极值点附近的函数值得出，最值是通过比较整个定义域（区间）内的函数值得出； （2）极值可以有很多个，但函数在其定义域上的最大值、最小值最多各有一个. 新课讲授 学习目标 课堂总结 问题 2：在下图中，观察 [a，b] 上的函数 y = f (x) 和 y = g (x) 的图象，它们在 [a，b] 上有最小值，最大值吗？如果有，最大值和最小值分别是什么？ O a b x y x1 y = g(x) x2 x3 x4 x5 O a b x y y = f (x) 最小值是 f (a) 最大值是 f (b) 最大值是 g(x3) 最小值是 g(x4) 小结：如果在区间 [a，b] 上函数 y = f (x) 的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值. 新课讲授 学习目标 课堂总结 解：由图可知，在区间 [0，3] 上，当 x = 2 时，函数 f (x) 有极小值，且极小值为 f (2) = − ； 又由于 f (0) = 4，f (3) = 1，所以函数 f (x) = x3 – 4x + 4 在区间 [0，3] 上的最大值是 4，最小值是 − . 例 1：求函数 f (x) = x3 – 4x + 4 在区间 [0，3] 上的最大值与最小值. 典例剖析 O 3 x y f (x) = x3 – 4x + 4 4 1 2 由图可以看出，只要把函数 y = f (x) 的所有极值连同端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值与最小值. 新课讲授 学习目标 课堂总结 归纳小结 求函数 y = f (x) 在区间 [a，b] 上的最值的步骤如下： （1）求函数 y = f (x) 在区间 (a，b) 上的极值； （2）将函数 y = f (x) 的各极值与端点处的函数值 f (a)，f (b) 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 思考：求最值时，为什么给定函数的区间必须是闭区间？ 新课讲授 学习目标 课堂总结 练一练 1.求函数 f (x) = 6x2 – 12x – 2 在区间 [0，2] 上的最大值与最小值. 解：令 f ´(x) = 12x – 12 = 0，解得 x = 1， 又在 [0，2] 上，当 x = 1，f (x) 有极小值，且极小值为 f (1) = – 8； 由于 f (0) = – 2， f (2) = – 2， 函数 f (x) = 6x2 – 12x – 2 在区间 [0，2] 的最大值为 – 2，最小值为 – 8. 注意：函数f (x)在取得最值时的 x 可能有多个值，但最值(数值)只有一个； 如：正弦函数 f (x) = sin x (x∈R) 取最大值 1 时的 x = + 2kπ . 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 2：利用函数的最值，试着证明不等式：当 x > 0 时，ln x ≥ 1