5.3.1 函数的单调性 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019)选择性必修第二册

5.3 导数在研究函数中的应用5.3.1 函数的单调性 第1课时 回顾：判断函数单调性的方法有哪些？ 1. 图象法：直接观察单调性； 2. 定义法：定义域判断函数单调性； 导数法！ 2 1. 了解导数与函数的单调性的关系； 2. 掌握利用导数判断函数单调性的方法. 新课讲授 学习目标 课堂总结 3 知识点 1：导数与函数的单调性的关系 问题 1： 图（1）是某高台跳水运动员的重心相对于水面的高度 h 随时间 t 变化的函数 h(t) = − 4.9t2 + 4.8t + 11 的图象. 图（2）是跳水运动员的速度 v 随时间 t 变化的函数 v(t) = h′(t) = − 9.8t + 4.8 的图象. 其中 a = ，b 是函数 h(t) 的零点. 仔细观察，说说运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？ O a t h b h(t) = – 4.9t2+4.8t+11 （1） O a t v b v(t) = – 9.8t + 4.8 （2） 新课讲授 学习目标 课堂总结 O a t h b h(t) = – 4.9t2+4.8t+11 （1） O a t v b v(t) = – 9.8t + 4.8 （2） 观察图(1)、(2)可得： ① 从起跳到最高点，运动员的重心处于上升状态，离水面的高度 h 随时间 t 的增加而增加，即 h(t) 单调递增；相应地，v(t) = h′(t) > 0； ② 从最高点到入水，运动员的重心处于下降状态，离水面的高度 h 随时间 t 的增加而减少，即 h (t) 单调递减；相应地，v(t) = h′(t) < 0.  新课讲授 学习目标 课堂总结 问题 2： 从以上观察中发现，函数 h(t) 单调性与 h′(t) 的正负有内在联系. 那么如何用 h′(t) 的正负来判断函数 h(t) 的单调性呢？ O a t h b h(t) = – 4.9t2+4.8t+11 （1） O a t v b v(t) = – 9.8t + 4.8 （2） 对于高台跳水问题，可以发现： ①当 t∈(0，a) 时，h′(t) > 0，函数 h(t) 的图象是“上升” 的，函数 h(t) 在(0，a) 上单调递增； ② 从最高点到入水，运动员的重心处于下降状态，离水面的高度 h 随时间 t 的增加而减少，即 h (t) 单调递减；相应地，v(t) = h′(t) < 0.  思考：任意函数的单调性与它的导数正负都有关系吗？ 新课讲授 学习目标 课堂总结 x y O y = x x y O y = x2 y = x3 x y O x y O y = （1） （2） （3） （4） 问题 3：观察下列函数图象，探讨函数的单调性与导数的正负关系. 新课讲授 学习目标 课堂总结 如图，导数f ′(x0)表示函数y = f (x)的图象在点(x0，f (x0))处的切线的斜率； 在 x = x0 处，f ′(x0) > 0，切线是“左下右上”的上升式，函数 f (x) 的图象也是上升的，即函数 f (x) 在 x = x0 附近单调递增； 在 x = x1 处，f ′(x1) < 0，切线是“左上右下”的下降式，函数 f (x) 的图象也是下降的，即函数 f (x) 在 x = x1 附近单调递减. x y O y = f (x) (x0，f (x0)) (x1，f (x1)) 新课讲授 学习目标 课堂总结 归纳小结 函数 f (x) 的单调性与导函数 f ′(x) 的正负之间的关系 在某个区间 (a，b) 上，如果 f ′(x) > 0，那么函数 y = f (x) 在区间 (a，b) 上单调递增； 在某个区间 (a，b) 上，如果 f ′(x) < 0，那么函数 y = f (x) 在区间 (a，b) 上单调递减. 思考：如果在某个区间上恒有 f ′(x) = 0，那么函数 f (x) 有什么特性？ 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 1：利用导数判断下列函数的单调性. （1）f (x) = x3 + 3x； （2）f (x) = . 典例剖析 解：（1）因为 f (x) = x3 + 3x，所以 f ′(x) = 3x2 + 3 = 3(x2 + 1) > 0； 所以函数 f (x) = x3 + 3x 在 R 上单调递增，如图(1)所示； y = x3 + 3x x y O （1） x y O y = （2） 1 1 （2）因为 f (x) = ，x∈(−∞，0)∪(0，+∞)，所以 f ′(x) = > 0； 所以函