5.3.2 函数的极值与最大（小）值 第1课时课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版(2019）选择性必修第二册

5.3 导数在研究函数中的应用5.3.2.1 函数的极值 1. 了解极大值、极小值的概念； 2. 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件； 3. 会用导数求函数的极大值、极小值． 新课讲授 学习目标 课堂总结 2 知识点 1：函数的极值 问题 1：观察图象，说说函数 h(t) 在 t = a 处时的导数是多少？此点附近的函数图象有什么特点？导数的正负有什么变化规律? O a b t h h´(a) = 0 单调递增 h´(t) > 0 单调递减 h´(t) < 0 归纳： （1）在 t = a 附近，函数值先增后减； （2）当 t 在 a 的附近从小到大经过 a 时，h′(t) 先正后负，且 h′(t) 连续变化，于是有 h´(a) = 0. 新课讲授 学习目标 课堂总结 问题 2：如图，函数 y = f (x) 在 x = a，b，c，d，e 等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y = f (x) 在这些点的导数值 f ´(x) 分别是多少？在这些点附近，y = f (x) 的导数的正负性有什么规律？ O a b x y c e d y = f (x) 分析：如图，可先分析函数 y = f (x) 在 x = a，b 两点的函数值、导数值与这两点附近的点的函数值、导数值，在类比分析其它点即可； 新课讲授 学习目标 课堂总结 如图，函数 f (x) 在点 x = a 的函数值 f (a) 比它在点 x = a 附近其它点的函数值都小，且 f ´(a) = 0；在点 x = a 附近的左侧 f ´(x) < 0，右侧 f ´(x) > 0； 类似地，函数 f (x) 在点 x = b 的函数值 f (b) 比它在点 x = b 附近其它点的函数值都大，且 f ´(b) = 0；在点 x = b 附近的左侧 f ´(x) > 0，右侧 f ´(x) < 0. x = b x = a O a b x y c e d y = f (x) 新课讲授 学习目标 课堂总结 概念讲解 极值点与极值 （1）函数 y = f (x) 极值点：a 叫做极小值点，b 叫做极大值点； （2）函数 y = f (x) 极值：f (a) 叫做极小值，f (b) 叫做极大值； （3）极小值点和极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值. O a b x y c e d y = f (x) 极大值 极大值 思考：极值点是一个点吗？ 新课讲授 学习目标 课堂总结 解：∵ f (x) = x3 – 4x + 4，∴ f ′(x) = x2 – 4 = (x + 2)(x – 2)， 令 f ′(x) = 0，解得 x = 2 或 – 2； 当 x 变化时，f ′(x)，f (x) 的变化情况如下表： 例 1：求函数 f (x) = x3 – 4x + 4 的极值. 典例剖析 x (− ∞，− 2) − 2 (− 2，2) 2 (2，+ ∞) f ′(x) + 0 − 0 + f (x) 单调递增 单调递减 − 单调递增 当 x = – 2 时，f (x) 有极大值，且极大值为 f (– 2) = ； 当 x = 2 时，f (x) 有极小值，且极小值为 f (2) = − . O – 2 x y f (x) = x3 – 4x + 4 2 函数图象 新课讲授 学习目标 课堂总结 思考：在一个函数中，极大值一定大于极小值吗？ O b x y c a d y = f (x) 由概念可知，函数的极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函数的局部性质； 如图，函数 y = f (x) 的极小值 f (a) 大于极大值 f (d)；极大值 f (b) 大于极小值 f (c)；即函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系. 新课讲授 学习目标 课堂总结 练一练 1. 求函数 f (x) = 6x2 – x – 2 的极值. 解：∵ f ′(x) = 12x – 1，令 f ′(x) = 0，解得 x = ； 当 x 变化时，f ′(x)，f (x) 的变化情况如下表： x (− ∞，) (，+ ∞) f ′(x) – 0 + f (x) 单调递减 – 单调递增 当 x = 时，f (x) 有极小值，且极小值为 f () = – . 新课讲授 学习目标 课堂总结 思考：导数值为 0 的点一定是函数的极值点吗？ 导数值为 0 的点不一定是函数的极值点； 例如，在函数 f (x) = x3 中 f ′(x) = 3x2，虽然 f ′(0) = 0，但无论 x > 0，还是 x