5.2.3 简单复合函数的导数 课件2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019)选择性必修第二册

5.2 导数的运算 5.2.3 简单复合函数的导数 1. 理解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则； 2. 能用复合函数的求导法则求简单复合函数的导数. 新课讲授 学习目标 课堂总结 2 知识点 1：复合函数的概念及求导法则 问题 1：已知 f (x) = ln x，则 f ´(x) = . 若函数 y = ln (2x – 1)，则 y´ = 吗？ 思考：该如何求函数 y = ln (2x – 1) 的导数呢 ？ 因为函数 y = ln (2x – 1) 不是由基本初等函数通过四则运算得到的，所以无法用现有的基本初等函数的求导公式直接求出它的导数. 新课讲授 学习目标 课堂总结 分析：函数 y = ln (2x – 1) 的特征： 若设 u = 2x – 1 (x > )，则 y = ln u . u = g(x) = 2x – 1 (x > ) y = f (u) = ln u 复合 y = f (u) = f (g(x)) = ln (2x – 1) 复合函数的概念：一般地，对于两个函数 y = f (u) 和 u = g(x)，如果通过中间变量 u，y 可表示成 x 的函数那么称这个函数为函数 y = f (u) 和 u = g(x)的复合函数，记作 y = f (g(x)) . 新课讲授 学习目标 课堂总结 问题 2：说说函数 y = sin 2x 是由哪两个函数复合而成的，并求出 y = sin 2x的导数. 函数 y = sin 2x 由 y = sin u 和 u = 2x 复合而成； 以 y´x 表示 y 对 x 的导数，y´u 表示 y 对 u 的导数，u´x 表示 u 对 x 的导数； 则 y´x = (sin 2x)´ = (2sin x·cos x)´ = 2[(sin x)´·cos x + sin x·(cos x)´] = 2[cos x·cos x + sin x·(– sin x)] = 2[cos2x·cos x – sin2x)] = 2cos 2x； 又 y´u = (sin u)´ = cos u，u´x = (2x)´ = 2， 所以 y´x = 2cos 2x = cos u · 2 = y´u · u´x . 新课讲授 学习目标 课堂总结 一般地，对于函数 y = f (u) 和 u = g(x) 复合而成的函数 y = f (g(x))，它的导数与函数 y = f (u)，u = g(x) 的导数间的关系为： y´x = y´u · u´x 即：y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积. 归纳小结 复合函数求导法则 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 1：求下列函数的导数. （1）y = (3x + 5)3； （2）y = e – 0.05x + 1； （3）y = ln (2x – 1). 典例剖析 解：（1）函数 y = (3x + 5)3 可看做函数 y = u3 和 u = 3x + 5 的复合函数， 根据复合函数求导法则得：y´x = y´u · u´x = (u3)´·(3x + 5)´= 3u2×3 = 9(3x + 5)2； （2）函数 y = e – 0.05x + 1可看做函数 y = eu 和 u = – 0.05x + 1 的复合函数， 根据复合函数求导法则得：y´x = (eu)´·(– 0.05x + 1)´ = – 0.05eu = – 0.05e – 0.05x + 1 ； （3）函数 y = ln (2x – 1) 可看做函数 y = ln u 和 u = 2x – 1 的复合函数， 根据复合函数求导法则得：y´x = (ln u)´·(2x – 1)´ = 2× = . 新课讲授 学习目标 课堂总结 归纳小结 求复合函数导数的步骤 新课讲授 学习目标 课堂总结 练一练 1.求下列函数的导数. （1）y = log2(2x + 1)； （2）y = 22x+1 . 解：（1）函数 y = log2(2x + 1) 可看做函数 y = log2u 和 u = 2x + 1的复合函数， ∴ y´x = y´u·u´x = (log2u)´·(2x + 1)´= = ； （2）函数 y = 22x+1 可看做函数 y = 2u 和 u = 2x + 1 的复合函数， ∴ y´x = (2u)´·(2x+1)´ = 2·2u·ln 2 = 2·22x+1·ln 2 = 22x+2·ln 2. 新课讲授 学