4.3.2 等比数列的前 n 项和公式 第2课时课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版(2019）选择性必修第二册

4.3 等比数列 4.3.2 等比数列的前 n 项和公式 第2课时 1. 能在具体情境中，发现数列的等比关系，并解决与等比数列的前 n 项和有关的实际问题. 新课讲授 学习目标 课堂总结 2 回顾：结合上节课所学知识，说说什么是等比数列的前 n 项和公式？ Sn = 新课讲授 学习目标 课堂总结 知识点 1：等比数列前 n 项和公式的实际应用 例 1：如图，正方形ABCD的边长为 5 cm，取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，作第 2 个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I，J，K，L，作第3个正方形IJKL，依此方法一直继续下去. （1）求从正方形ABCD开始，连续 10 个正方形的面积之和； （2）如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些 正方形的面积之和将趋近于多少？ A B C D E F G H I J K L O M N P 分析：由题可知，第 1 个的面积为 S正方形ABCD = 25 cm2， 第 2 个面积为 S正方形EFGH = cm2，第 3 个为S正方形IJKL = ， 通过计算得出，每个正方形的面积都是上一个正方形面积的 ； 新课讲授 学习目标 课堂总结 （1）求从正方形ABCD开始，连续 10 个正方形的面积之和； A B C D E F G H I J K L O M N P 解：（1）设正方形ABCD的面积为 a1，后续各正方形面积分别为 a1，a2，···，an，···，则正方形面积组成的等比数列{an}的首项为 a1 = 25，公比为 ； 设{an}的前 n 项和为 Sn，则 S10 = = 50×[1 – 10] = . 新课讲授 学习目标 课堂总结 （2）如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少？ A B C D E F G H I J K L O M N P （2）当 n 无限增大时，Sn 无限趋近于所有正方形的面积和 a1 + a2 + a3 + ··· + an + ··· ，而 Sn= = 50[1 – n]， 随着 n 的无限增大，n 将趋近于 0，Sn 将趋近于 50. 所以，所有这些正方形的面积之和将趋近于 50 . 新课讲授 学习目标 课堂总结 归纳总结 解决等比数列前 n 项和的实际问题的基本步骤： （1）将已知条件翻译成数学语言，将实际问题转化为数学问题； （2）构建等比数列模型； （3）利用等比数列前 n 项和公式求解等比数列问题； （4）将所求结果还原到实际问题中. 新课讲授 学习目标 课堂总结 1. 如果例 1 中所有正方形的面积之和趋近于 64 cm2，则最初的正方形 ABCD 的面积和边长分别为多少？ 练一练 解：由例1可知，Sn= = 2a1[1 – n]， A B C D E F G H I J K L O M N P 随着 n 的无限增大，n 将趋近于 0，Sn 将趋近于 2a1， 依题意，2a1 = 64，解得 a1 = 32，故 S正方形ABCD = 32 cm2，边长为4 cm. 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 2：去年某地产生的生活垃圾为 20 万吨，其中 14 万吨垃圾以填埋方式处理，6 万吨垃圾以环保方式处理. 预计每年生活垃圾的总量递增 5 %，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加 1.5 万吨. 为了确定处理生活垃圾的预算，请写出从今年起 n 年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年起 5 年内通过填埋方式处理的垃圾总量 (精确到 0.1 万吨). 典例剖析 分析：由题可知，每年生活垃圾的总量构成等比数列，而每年以环保方式处理的垃圾量构成等差数列. 新课讲授 学习目标 课堂总结 已知：去年生活垃圾总量 20 万吨：填埋处理 14 万吨，环保处理 6 万吨； 总量每年递增 5 %，环保处理每年增加 1.5 万吨； 写出从今年起 n 年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年起 5 年内通过填埋方式处理的垃圾总量 (精确到 0.1 万吨). 解：设从今年起每年生活垃圾的总量(单位：万吨)构成数列{an}，每年以环保方式处理的垃圾量(单位：万吨)构成数列{bn}，n 年内通过填埋方式处理的垃圾总量为Sn (单位：万吨)，则： an = 20(1+5%)n，bn = 6 + 1.5n， Sn = (a1 – b1) + (a2 – b2) + ··· + (an – bn) = (a1 + a2 + ··· + an ) – (b1 + b2 + ··· + bn) 分组求和 新课讲授 学习目标 课堂总结 Sn = (a1 – b1) + (a2