抛物线 专题训练-2024届高三数学一轮复习

抛物线 一、知识梳理 1.抛物线的定义 (1)平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线. (2)其数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离). 2.抛物线的标准方程与几何性质 图形 标准方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py(p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 性质 顶点 O(0，0) 对称轴 y＝0 x＝0 焦点 F F F F 离心率 e＝1 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 二、常用结论 1.通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p，通径是过焦点最短的弦. 2.抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝x0＋，也称为抛物线的焦半径. 三、专题训练 （一）基础题 1．（2023上·河南·高二校联考阶段练习）鱼腹式吊车梁中间截面大，逐步向梁的两端减小，形状像鱼腹.如图，鱼腹式吊车梁的鱼腹部分是抛物线的一部分，其宽为，高为，根据图中的坐标系，则该抛物线的焦点坐标为（    ）    A． B． C． D． 2．（2023上·天津武清·高二校考阶段练习）数学与建筑的结合造就建筑艺术品，如吉首大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，如图，若将该大学的校门轮廓（忽略水泥建筑的厚度）近似看成抛物线（）的一部分，且点在该抛物线上，则该抛物线的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 3．（2022上·江西宜春·高二校考期末）已知是抛物线的焦点，点在抛物线上，则（    ） A． B． C． D． 4．（2023上·四川泸州·高二校考阶段练习）抛物线的焦点坐标是（ ）． A． B． C． D． 5．（2017上·宁夏石嘴山·高二石嘴山市第三中学校考阶段练习）已知双曲线的离心率为3，有一个焦点与抛物线的焦点相同，那么双曲线的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 6．（2023上·四川眉山·高二仁寿一中校考阶段练习）抛物线的准线方程是（    ） A． B． C． D． 7．（2022上·陕西商洛·高三统考期末）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，且，则（    ） A． B． C． D． 8．（2024上·吉林白山·高二统考期末）若抛物线的准线经过椭圆的左焦点，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 9．（2024·广西·模拟预测）已知圆：与抛物线的准线相切，则（    ） A． B． C．2 D．8 10．（2024·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，则F到直线的距离为（    ） A．0 B． C． D． （二）进阶题 11．（2024上·安徽合肥·高二合肥一中校考阶段练习）如图，已知抛物线，圆，过圆心的直线与抛物线和圆依次交于、、、，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 12．（2023上·天津河西·高三天津市新华中学校考阶段练习）已知抛物线 的焦点F是双曲线 的右焦点，抛物线的准线与双曲线的渐近线交于A，B两点. 若是等边三角形，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 13．（2023上·福建莆田·高二莆田第五中学校考阶段练习）若抛物线上任意一点到焦点的距离恒大于，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．（2024·天津滨海新·高三天津市滨海新区塘沽第一中学校联考期末）抛物线上的点到其焦点的距离是到轴距离的2倍，过双曲线的左右顶点作的同一条渐近线的垂线，垂足分别为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 15．（2024·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过点的直线在轴上方与抛物线相交于两点，若，则点到抛物线的准线的距离为（    ） A． B． C．2 D．3 16．（2024上·北京大兴·高三统考期末）已知定点和拋物线是抛物线的焦点，是抛物线上的点，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 17．（2023上·广东广州·高二广州市天河中学校考阶段练习）已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与点到轴的距离之和的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 18．（2024·全国·模拟预测）已知O为坐标原点，F为抛物线C：的焦点，点，点P在C上，，且的面积为1，则C的准线方程为（    ） A． B． C． D． 19．（2024·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，P为抛物线上一点