4.3.1 等比数列的概念 第2课时课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版(2019）选择性必修第二册

4.3 等比数列 4.3.1 等比数列的概念 第2课时 1. 能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题； 2. 能通过等比数列的概念、通项公式了解等比数列的性质. 新课讲授 学习目标 课堂总结 2 知识点 1：等比数列的实际应用 例 1：用10 000元购买某个理财产品一年. （1）若以月利率 0.400 %的复利计息，12 个月能获得多少利息(精确到1元)？ 分析：复利是指把前一期的利息与本金之和算作本金，再计算下一期的利息，所以若原始本金为 a 元，每期的利率为 r，则从第一期开始，各期的本利和 a，a(1 + r)，a(1 + r)2，… 构成等比数列. 解：设这笔钱存 n 个月以后的本利和组成一个等比数列{an}， 首项 a1 = 104·(1+0.400%)，公比 q = 1 + 0.400%， 所以 a12 = 104 · (1+0.400%) · (1+0.400%)11 = 104 · (1+0.400%)12 ≈ 10490.7； 所以，12 个月后的利息为 10490.7 – 104 ≈ 491（元） 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 1：用10 000元购买某个理财产品一年. （2）若以季度复利计息，存 4 个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息不少于按月结算的利息 (精确到10–5)? 解：设季度利率为 r，这笔钱存 n 个季度以后的本利和组成另一个等比数列{bn}， 首项 b1 = 104(1 + r)，公比为 1 + r，所以 b4 = 104(1 + r)4， 因此，以季度复利计息，存 4 个季度后的利息为 [104(1 + r)4 – 104] 元； 解不等式 104(1 + r)4 – 104 ≥ 491，得 r ≥ 1.206 %. 所以，当季度利率不小于 1.206 % 时，按季结息不少于按月结息. 新课讲授 学习目标 课堂总结 归纳总结 运用等比数列通项公式解决实际问题的步骤： （1）构造：建立等比数列模型；({an}、{bn}) （2）明确基本量：a1，q，n，an； （3）求解：利用通项公式 an = a1 · qn – 1 求解相应值； ( a12、b4 ) （4）还原：根据实际题意回答问题. (按要求利用本利和求解利息) 新课讲授 学习目标 课堂总结 1.某汽车集团计划大力发展新能源汽车，2017 年全年生产新能源汽车 5000辆. 如果在后续的几年中，后一年新能源汽车的产量都是前一年的 150%，那么 2025 年全年约生产新能源汽车多少辆 (精确到1)? 练一练 解：由题意可知，从 2017 年开始，每一年新能源汽车的产量构成等比数列，设为{an}，则 a1 = 5000，公比 q = 150% = 1.5，∴ an = 5000×1.5n – 1； 2025年为数列第 9 项，故 a9 = 5000×1.58 ≈ 128145 (辆) . ∴ 2025 年全年约生产新能源汽车 128 145 辆 . 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 2：已知数列 {an} 的首项 a1 = 3. （1）若{an}为等差数列，公差 d = 2，证明数列 {3} 为等比数列. 证明：（1）由 a1 = 3，d = 2，得{an} 的通项公式为 an = 2n + 1， 设 bn = 3，则 = = 9； 又 b1 = 33 = 27，所以{3}是以 27 为首项，9 为公比的等比数列. 知识点 2：等比数列的性质 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 2：已知数列 {an} 的首项 a1 = 3. （2）若{an}为等比数列，公比 q = ，证明数列{log3an}为等差数列. 证明：（2）由 a1 = 3，q = ，得{an} 的通项公式为 an = 3×()n – 1 = 33 – 2n ， 两边取以 3 为底的对数，得：log 3an = log 3 33 – 2n = 3 – 2n； 所以 log 3an + 1 – log 3an = [3 – 2(n + 1)] – (3 – 2n) = – 2， 又 log 3a1 = log 33 = 1， 所以 { log 3an} 是首项为 1，公差为 – 2 的等差数列. 新课讲授 学习目标 课堂总结 问题 1：已知 b > 0 且 b ≠ 1，如果数列{an}是等差数列，那么数列{b}是什么数列？试着证明你的判断. 证明：∵数列{an}是等差数列，∴ an+1 – an = d， 又 b、d 均为常数，∴bd是一个常数，令bd = q，即 q 为一个常数； ∴根据等比数列的定义，数列{