4.3.1 等比数列的概念 第1课时课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版(2019）选择性必修第二册

4.3 等比数列 4.3.1 等比数列的概念 第1课时 1. 通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义，并了解等比中项的概念； 2. 会运用等比数列的通项公式解决简单的等比数列问题； 3. 理解等比数列与指数函数的关系. 新课讲授 学习目标 课堂总结 2 回顾：等差数列的特征是什么？ 等差数列的特征是：从第 2 项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数. 新课讲授 学习目标 课堂总结 知识点 1：等比数列的概念 问题 1：两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了一些数列，观察下面的数列，说说这些数列的取值有什么特征. 9，92，93，···，910； ① 100，1002，1003，···，10010； ② 5，52，53，···，510. ③ ① 9，92，93，···，910 ：每一项是前一项的 9 倍； ② 100，1002，1003，···，10010 ：每一项是前一项的 100 倍； ③ 5，52，53，···，510 ：每一项是前一项的 5 倍. 新课讲授 学习目标 课堂总结 问题 2：阅读课本第 27 页，类比问题 1 中规律，说说数列 ④、⑤、⑥ 的取值各有什么规律？ ④ ，，，，，··· ： ⑤ 2，4，8，16，32，64，··· ： ⑥ a(1 + r)，a(1 + r)2，a(1 + r)3，a(1 + r)4，a(1 + r)5 ： 每一项是前一项的 倍； 每一项是前一项的 2 倍； 每一项是前一项的 (1 + r) 倍. 新课讲授 学习目标 课堂总结 问题 3：类比等差数列的特征，说说你是通过怎样的运算发现上述数列的取值规律的. 等差数列特征：a2 – a1= d，a3 – a2= d，···，an – an – 1 = d； 若用{an}表示数列 ①，则有： = 9， = 9，···， = 9； 即数列 ① 取值规律为：从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都等于 9. 同理，其余数列 ② ~ ⑥ 也有类似取值规律. 思考：类比等差数列的概念，从上述几个数列的规律中，说说等比数列的概念是什么？ 新课讲授 学习目标 课堂总结 概念生成 等比数列的概念 如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列； 其中常数叫做等比数列的公比，用字母 q 表示（q ≠ 0）. 例：数列 ① 的公比 q1 = 9. 若三个数 a，G，b 组成一个等比数列，则 G 叫做 a 与 b 的等比中项，且根据等比数列的定义，有 G2 = ab . 等比数列 2，4，8 中 4 是 2 与 8 的等差中项，42 = 2×8. 公比 = 新课讲授 学习目标 课堂总结 1. 判断下列数列是否是等比数列；如果是，写出它的公比. （1）3，9，15，21，27，33； （2）1，1.1，1.21，1.331，1.4641； （3）4，– 8，16，– 32，64，– 128. 练一练 解：（1）不是；∵ ≠ ，即后一项与前一项的比不等于同一个常数； （2）是；∵ = = = = 1.1 = q； （3）是；q = – 2. 新课讲授 学习目标 课堂总结 知识点 2：等比数列的通项公式 问题 1：根据等比数列的定义推导等比数列的通项公式. （定义：从第 2 项起，等比数列的每一项与它的前一项的比都等于常数）. 设一个等比数列 {an} 的公比为 q； 根据定义可得：an+1 = an · q， 故 a2 = a1 · q ， a3 = a2 · q = (a1 · q) · q = a1 · q2， a4 = a3 · q = (a1 · q2) · q = a1 · q3， ······ 归纳可得：an= a1 · qn – 1（n ≥ 2）. 又 a1= a1 · q0 = a1 · q1 – 1，即当 n = 1 时，上式同样成立. 首项为 a1，公比为 q 的等比数列{an}的通项公式为： an= a1 · qn – 1. 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 1：若等比数列{an}的第 4 项和第 6 项分别为 48 和 12，求{an}的第 5 项. 典例剖析 解法 1：由 a4 = 48，a6 = 12，得： 的两边同时除以 ① 的两边，得：