4.2.2 等差数列的前 n 项和公式课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版(2019）选择性必修第二册

4.2 等差数列 4.2.2 等差数列的前 n 项和公式 第1课时 回顾：运用所学数列知识，说说什么是数列的前 n 项和？ Sn = a1 + a2 + ··· + an . 数列{an}从第 1 项起到第 n 项止的各项之和，记作 Sn . 1. 推导并掌握等差数列的前 n 项和公式，理解等差数列的通项公式与前 n 项和公式的关系； 2. 会用等差数列的前 n 项和公式解决简单的有关计算问题. 新课讲授 学习目标 课堂总结 3 知识点 1：等差数列的前 n 项和公式 问题 1：如图，以相同大小的圆形石子堆叠成一个三角形图案. （1）若该图案有 100 层，一共需要使用多少颗石子？ 1 + 2 + 3 + ··· + 100 = (1 + 100) + (2 + 99) + ··· + (50 + 51) = 101×50 = 5050； （2）上述计算时采用了什么简便算法？ （3）若设 a1 = 1，a2 = 2，···，an = n，则上述求和过程中，利用了数列 1，2，3，···，n，··· 的什么性质？ 等差数列的性质：若 p + q = s + t ( p，q，s，t ∈N +)，则：ap + aq = as + at . a1 + a100 = a2 + a99 = ··· = a50 + a51；(将不同数的求和转化为相同数的求和) 新课讲授 学习目标 课堂总结 问题 2：若该图案有 101 层，从第 1 层到第 100 层一共用了多少颗石子？ 解：拿出中间项，再首尾配对； ∵该图案有 101 层，在首尾配对时，会多出中间一项， 即原式 = (1 + 101) + (2 + 100) + ··· + (50 + 52) + 51 = 102×50 + 51 = 5151 . 思考：说说上述方法的基本思路是什么？你还有其他思路吗？ 新课讲授 学习目标 课堂总结 问题 3：若该图案有 n 层，从第 1 层到第 n 层一共用了多少颗石子？ 依题意，分奇偶讨论 n 的值： ① ：当 n 为偶数时： Sn = 1 + 2 + 3 + ··· + n = (1 + n) + [2 + (n – 1)] + ··· + [ + ( + 1)] = (1 + n) + (1 + n) + ··· + (1 + n) = 共 项 新课讲授 学习目标 课堂总结 从第 1 层到第 n 层一共用了多少颗石子？ ② ：当 n 为奇数时： Sn = 1 + 2 + 3 + ··· + n = (1 + n) + [2 + (n – 1)] + ··· + [ ( – 1) + ( + 1)] + = (1 + n) + (1 + n) + ··· + (1 + n) + = · (1 + n) + = . 共 项 综上，对于任意正整数 n，都有 Sn = 1 + 2 + 3 + ··· + n = . 新课讲授 学习目标 课堂总结 问题 4：结合问题 3，想一想，若不对 n 分奇、偶进行讨论，能否求出求出 1 + 2 + 3 + ··· + n ？若能，试着写出推导过程；若不能，请说明理由. n 个 n 个 (n + 1)个 (n + 1) 个 n 项 Sn = 1 + 2 + 3 + ··· + n Sn = n + (n – 1) + (n – 2) + ··· + 1 2Sn = n (1 + n) 新课讲授 学习目标 课堂总结 推导： Sn = 1 + 2 + 3 + ··· + n Sn = n + (n – 1) + (n – 2) + ··· + 1 两个式子左右两边同时相加得： 2Sn = [1 + n] + [2 + (n – 1)] + [3 + (n – 2)] + ··· + [n + 1] = (1 + n) + (1 + n) + (1 + n) + ··· + (1 + n) = n (1 + n)， 共 n 项 所以，Sn = 1 + 2 + 3 + ··· + n = . 思考：仔细观察前两行的 Sn 两式，说说这两种形式有什么区别，为什么要写成这种形式？ 新课讲授 学习目标 课堂总结 归纳总结 倒序相加法： 如果一个数列{an}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一