4.2.1 等差数列的概念 第2课时课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版(2019）选择性必修第二册

4.2 等差数列 4.2.1 等差数列的概念 第2课时 1. 能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题； 2. 能通过等差数列的概念、通项公式及图象，了解等差数列的性质. 新课讲授 学习目标 课堂总结 2 知识点 1：等差数列的实际应用 例 1：某公司购置了一台价值为 220 万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少. 经验表明，每经过一年其价值就会减少 d (d 为正常数) 万元. 已知这台设备的使用年限为 10 年，超过 10 年，它的价值将低于购进价值的 5 %，设备将报废. 请确定 d 的取值范围. 分析：根据题意设备每年减少价值都为 d，即每年的价值之间存在等差关系； 且 10 年之内，设备价值应不小于 (220×5% =) 11万元； 新课讲授 学习目标 课堂总结 设备价值 220 万元，每年价值减少 d (d 为正常数) 万元. 使用年限为 10 年，超过 10 年，价值将低于购进价的 5 %，设备报废. 请确定 d 的取值范围. 解：设使用 n 年后，这台设备的价值为 an 万元，则可得数列{an}； 由已知条件得 an = an – 1 – d (n ≥ 2)，即数列{an}是一个公差为 – d 的等差数列； ∵购进设备的价值为 220 万元， ∴ a1 = 220 – d ， ∴ an = a1 + (n – 1)(– d) = 220 – nd， 根据题意得 a10 ≥ 11，a11 < 11，即 ，解得 19 < d ≤ 20.9 ； 所以，d 的取值范围为19 < d ≤ 20.9 . 新课讲授 学习目标 课堂总结 归纳总结 运用等差数列解决实际问题的步骤： （1）找：发现实际问题中呈等差关系变化的量；(设备 n 年后的价值) （2）构造：构造等差数列刻画等差关系；(a1 = 220 – d，an = 220 – nd ) （3）求：根据实际问题要求，求解相应值. (d 的取值范围：19 < d ≤ 20.9 ) 新课讲授 学习目标 课堂总结 练一练 某体育场一角看台的座位是这样排列的：第 1 排有 15 个座位，从第 2 排起每一排都比前一排多 2 个座位. 请问第 10 排有多少个座位？第 n 排又有多少个座位？ 解：设第 n 年排座位数为 an 个，则各排座位数可构成等差数列{an}， 由已知条件可得 a1 = 15，公差为 d = 2，∴ an = 15 + 2(n – 1) = 2n + 13； 将 n = 10 代入公式得： a10 = 15 + 2×(10 – 1) = 33，即第 10 排有33个座位； 又 an = 2n + 13，所以第 n 排有 (2n + 13) 个座位. 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 2：已知等差数列{an}的首项 a1 = 2，公差 d = 8，在{an}中每相邻两项之间都插入 3 个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列 {bn} （1）求数列{bn}的通项公式； （2）b29 是不是数列{an}的项？若是，它是{an}的第几项？若不是，说明理由. 典例剖析 解：（1）设数列{bn}的公差为 d´， 由题意可知：b1 = a1，b5 = a2，即 b5 – b1 = a2 – a1 = 8， ∵ b5 – b1 = 4d´ = 8，∴ d´ = 2； ∵ b1 = 2，d´ = 2，∴ bn = 2 + 2(n – 1) = 2n； 新课讲授 学习目标 课堂总结 已知：等差数列{an}：a1 = 2，公差 d = 8；等差数列{bn}：b1 = 2，bn = 2n. （2）b29 是不是数列{an}的项？若是，它是{an}的第几项？若不是，说明理由. （2）是；∵bn = 2n，∴ b29 = 58； 又 a1 = 2，d = 8，an = 2 + 8(n – 1) = 8n – 6； ∵ 令 8n – 6 = 56，得 n = 8，b29 数列{an}的 8 项. 新课讲授 学习目标 课堂总结 变式：已知等差数列{an}的首项 a1 = 2，公差 d = 8，在{an}中每相邻两项之间都插入 k 个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}，求数列{bn}的公差. 解：设数列{bn}的公差为 d´´， 由题意可知：b1 = a1，bk + 2= a2，即 bk + 2 – b1 = a2 – a1 = 8， ∵ bk + 2 – b1 = (k + 1)d´´ = 8，∴ d´´ = . 方法小结：在首项为 a，公差 d 的数列中每相邻两项之间都插入 k 个数组成的新等差数列的公差为 d´ = . 新课讲授 学习目标 课堂总结 知识点 2：等差数列的性质 例 3：已知