3.1.2 椭圆的简单几何性质 第1课时课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版(2019）选择性必修第一册

3.1.2 椭圆的简单几何性质 第1课时 1.掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质 2.能利用椭圆的性质解决相关问题 新课讲授 学习目标 课堂总结 2 “天宫一号”的运行轨迹是椭圆形的，椭圆在我们的生活中经常出现，你知道椭圆有什么样的性质吗？如何研究？ 问题导入 新课讲授 学习目标 课堂总结 问题1：观察椭圆 的形状，从图上看它的范围是怎样的？ 知识点1：椭圆的范围 O y B2 B1 A1 A2 F1 F2 c a b x 椭圆上的点都在一个特定的矩形内 新课讲授 学习目标 课堂总结 O y B2 B1 A1 A2 F1 F2 c a b x 由 即 同理 即 说明椭圆位于直线 和 围成的矩形框里. 问题2：如何用方程(代数方法)确定它的具体边界？ 新课讲授 学习目标 课堂总结 问题：观察椭圆的形状，可以发现椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，如何利用方程说明椭圆的对称性？ 方程不变，点在椭圆上 知识点2：椭圆的对称性 F1 F2 x O y ①P(x,y) P1(-x,y) y轴 P（x，y） P1（-x，y） ②P(x,y) P2(x,-y) x轴 方程不变，点在椭圆上 P2（x，-y） 新课讲授 学习目标 课堂总结 ③P(x,y) P3(-x,-y) 原点 F1 F2 x O y P1（-x，y） 方程不变，点在椭圆上 P（x，y） P2（x，-y） P3（-x，-y） 综上,椭圆关于x轴、y轴和原点都是对称的. 坐标轴是椭圆的对称轴,原点是椭圆的对称中心,椭圆的对称中心叫做椭圆的中心. 新课讲授 学习目标 课堂总结 思考：椭圆 上哪些点比较特殊？为什么？如何得到这些点的坐标？ 知识点3：椭圆的顶点 椭圆与y轴的交点:令 x=0,得y =±b， F1 F2 x O y B1(0, -b)， B2(0, b) 椭圆与x轴的交点:令 y=0,得x =±a， A1(-a, 0)， A2(a, 0) 椭圆的顶点 A1 A2 B1 B2 短轴 长轴 2a 2b a为椭圆的长半轴长，b为椭圆的短半轴长 新课讲授 学习目标 课堂总结 保持长半轴长a不变,改变椭圆的半焦距c,可以发现,c越接近a,椭圆越扁平. 问题：扁平程度是椭圆的重要形状特征，如何用一个适当的量刻画椭圆的扁平程度？ 知识点4：椭圆的离心率 x y O 类似地,保持c不变,改变a的大小,则a越接近c,椭圆越扁平;而当a,c扩大或缩小相同倍数时,椭圆的形状不变. 新课讲授 学习目标 课堂总结 椭圆的焦距与长轴长的比 称为椭圆的离心率. 用e表示，即 因为a＞c＞0，所以0＜e＜1. 当且仅当a=b时，c=0,这时两个焦点重合，图形变为圆. e 越接近 1，c 就越接近 a， 此时椭圆就越扁. e 越接近 0，c 就越接近 0， 此时椭圆就越圆. 新课讲授 学习目标 课堂总结 想一想：离心率相同的椭圆是同一椭圆吗？ 不是，离心率是比值，比值相同不代表a,c值相同，它反映的是椭圆的扁圆程度. 新课讲授 学习目标 课堂总结 标准方程 范围 对称性 顶点坐标 焦点坐标 半轴长 离心率 关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称 (±a,0)、(0,±b) (±c,0) (±b,0)、(0,±a) (0 ,±c) 关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称 长半轴长为a, 短半轴长为b.(a＞b) -a ≤ x≤ a, - b≤ y≤ b -a ≤ y ≤ a, - b≤ x ≤ b 长半轴长为a, 短半轴长为b.(a＞b) 新课讲授 学习目标 课堂总结 例1:求椭圆 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标. 解：把原方程化成标准方程，得 于是 因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是 两个焦点坐标分别 F1(-3,0)和F2(3,0)， -3 -5 -4 5 3 4 x O y 离心率 四个顶点坐标分别是 新课讲授 学习目标 课堂总结 解：①当焦点在x轴上时， 设椭圆的标准方程为 所以椭圆的标准方程为 例2:过点(3,0),离心率 求椭圆的标准方程. 由题意，得a=3， 因为 所以 从而b2=a2-c2=3， 新课讲授 学习目标 课堂总结 ②当焦点在y轴上时， 设椭圆的标准方程为 所以椭圆的标准方程为 由题意，得b=3， 因为 所以 得a2=27， 综