3.1.1 椭圆及其标准方程课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版(2019）选择性必修第一册

3.1.1 椭圆及其标准方程 1.通过实际绘制椭圆的过程认识椭圆的几何特征，理解椭圆的定义和标准方程 2.能建立适当的坐标系，求椭圆的标准方程 新课讲授 学习目标 课堂总结 2 用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线和双曲线． 我们通常把椭圆、拋物线、双曲线统称为圆锥曲线. 新课讲授 学习目标 课堂总结 取一条定长的细绳，若把细绳两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖. 知识点1：椭圆的定义 问题2：笔尖与两定点之间满足怎样的几何关系？ 问题1：所画出的轨迹是什么形状？ 新课讲授 学习目标 课堂总结 平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆. 这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. 焦距的一半称为半焦距. F1 F2 焦距 焦点 M 定义 新课讲授 学习目标 课堂总结 问题1：从椭圆的画法中，你能发现椭圆有哪些对称性？ 知识点2：椭圆的标准方程 F1 F2 M 椭圆关于定点F1,F2所在的直线对称， 关于线段F1F2的中垂线对称，且对称轴的交点是椭圆的对称中心 新课讲授 学习目标 课堂总结 F1 F2 M x O y 以对称轴为坐标轴建立坐标系 问题2：类比圆的方程的最简形式与坐标系的关系,观察椭圆的形状，怎么建立坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单？ (x,y) 焦点F1,F2的坐标分别为(-c,0),(c,0). 椭圆可看作点集 P={M||MF1|+|MF2|=2a}. 新课讲授 学习目标 课堂总结 F1 F2 M x O y (x,y) 移项后平方 整理，得 再平方 整理，得 两边同时除以 得 因为2a＞2c＞0，即a＞c＞0，所以a2-c2＞0. ① 新课讲授 学习目标 课堂总结 思考： 观察图象,找出表示a,c, 的线段. |PF1|=|PF2|=a,|OF1|=|OF2|=c, F1 F2 P x O y 令 可化简为 ② 新课讲授 学习目标 课堂总结 F1 F2 P x O y 从上述过程可以看到，椭圆上任意一点的坐标(x，y)都满足方程②; 我们称 是椭圆的标准方程. 反之,以方程②的解为坐标的点(x，y)与椭圆的两个焦点(c,0)，(-c,0)的距离之和为2a，即以方程②的解为坐标的点都在椭圆上. 新课讲授 学习目标 课堂总结 思考： 如果焦点F1,F2在y轴上，且F1,F2的坐标分別为(0,-c), (0,c),a,b的意义同上，那么椭圆的方程是什么？ F1 F2 M x O y 新课讲授 学习目标 课堂总结 归纳总结 椭圆标准方程 定义 图形 方程 焦点 a,b,c之间的关系 F1 F2 M x O y F1 F2 M x O y F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c)，F2(0,c) a2=b2+c2 新课讲授 学习目标 课堂总结 例1:已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),(2,0),并且经过点 求它的标准方程. 解：由于椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为 由椭圆的定义知c=2， 所以 所以b2=a2-c2=10-4=6， 所以，所求椭圆的标准方程为 还能用其他方法求它的标准方程吗？ 新课讲授 学习目标 课堂总结 例2:在圆x2+y2=4上任取一点P,过点P作x轴的垂线段PD,D为垂足.当点P在圆上运动时,线段PD的中点M的轨迹是什么?为什么? 分析：点P在圆x2+y2=4上运动,点P的运动引起点M运动.可以由M为线段PD的中点得到点M与点P坐标之间的关系式,并由点P的坐标满足圆的方程得到点M的坐标所满足的方程. 解：设点M的坐标为(x,y),点P的坐标为(x0,y0)则点D的坐标为(x0,0). 由点M是线段PD的中点，得 新课讲授 学习目标 课堂总结 例2:在圆x2+y2=4上任取一点P,过点P作x轴的垂线段PD,D为垂足.当点P在圆上运动时,线段PD的中点M的轨迹是什么?为什么? 因为点P(x0,y0)在圆x2+y2=4上,所以 把x0=x，y0=2y代入方程 得 即 所以点M的轨迹是椭圆. 新课讲授 学习目标 课堂总结 归纳总结 寻求点M的坐标(x,y)中x,y与x0,y0之间的关系,然后消去x0,y0,得到点M的轨迹方程.这是解析几何中求点的轨迹方程常用的方法. 新课讲授 学习目标 课堂总结 思考： 观察下列图形变换过程，由此你能说出椭圆与圆之间的关系吗？ 新课讲授 学