2.5.1 直线与圆的位置关系 第1课时课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版(2019）选择性必修第一册

2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系2.5.1 直线与圆的位置关系 第1课时 1. 掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离. 2. 会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系； 3. 能运用直线与圆的位置关系，求解圆的弦长与切线方程. 新课讲授 学习目标 课堂总结 2 情境导学：“大漠孤烟直，长河落日圆”，这是唐代诗人王维的诗句. 它描述了黄昏日落时分塞外特有的景象．从日落这种自然现象中可以抽象出哪些基本的几何图形呢？它们有哪些位置关系呢？ 新课讲授 学习目标 课堂总结 知识点 1：直线与圆的位置关系 思考：如何用直线的方程和圆的方程判断它们之间的位置关系？ 回顾：在初中，是怎样判断直线与圆的位置关系？ 位置关系 相离 相切 相交 图形 d 与 r 的关系 公共点个数 d > r d r 0 个 d r d < r 2 个 d r d = r 1 个 新课讲授 学习目标 课堂总结 问题 1：已知直线 l：3x + y – 6 = 0 和圆心为 C 的圆：x2 + y2 – 2y – 4 = 0，试判断直线 l 与圆 C 的位置关系. 分析：根据初中知识，可通过两种方法判断： ① 直线与圆的公共点个数；② 圆心到直线的距离 d 与半径 r 的大小关系； 方法 ①：直线与圆的交点个数：可转化为直线方程与圆方程的解得个数； 由直线 l 与圆的方程得：，消去 y 得：x2 – 3x + 2 = 0； 因为 Δ = (– 3)2 – 4×1×2 = 1 > 0，所以直线 l 与圆 C 相交，且有两个公共点. 新课讲授 学习目标 课堂总结 判断直线 l：3x + y – 6 = 0 与圆：x2 + y2 – 2y – 4 = 0 的位置关系. 方法 ②：将圆化为标准形式，求出圆心坐标与半径，再求出圆心到直线 l 的距离 d 与半径 r 的比较大小即可； d = = < = ，即 d < r，所以直线 l 与圆 C 相交，有两个公共点. 将圆的方程化为标准形式得：(x – 0)2 + (y – 1)2 = 5， 圆心 C 的坐标为 (0，1)，半径为，圆心 C 到直线 l 的距离为： r d 思考：类比初中的方法，说说用方程判断直线与圆的位置关系有什么优点？ 问题 1 中两种解法的差异是什么？ 新课讲授 学习目标 课堂总结 归纳小结 判断方法 代数法：由 消元得一元二次方程，通过 Δ 判定 几何法：计算圆心到直线的距离d，与半径r相比较 位置关系 相离 相切 相交 特点 d > r d < r d = r Δ > 0 Δ = 0 Δ < 0 侧重于“坐标”与“方程” 侧重于图形的几何性质，步骤较简洁 判断直线与圆的位置关系的方法 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 1：已知直线方程 mx – y – m – 1 = 0，圆的方程 x2 + y2 – 4x – 2y + 1 = 0. 当 m 为何值时，圆与直线： （1）有两个公共点；（2）只有一个公共点；（3）没有公共点. 典例剖析 解：代数法、几何法任选一种解答即可. 已知圆的方程可化为 (x – 2)2 + (y – 1)2 = 4，即圆心为 C (2，1)，半径 r = 2； 圆心 C (2，1) 到直线 mx – y – m – 1 = 0 的距离 d = = ， （1）有两个公共点：d = < 2，即 m > 0 或 m < – ； 新课讲授 学习目标 课堂总结 （2）只有一个公共点（相切） ：d = = 2，即 m = 0 或 m = – ； （2）只有一个公共点； （3）没有公共点； （d = ） （3）没有公共点（相离） ：d = > 2，即 – < m < 0. 新课讲授 学习目标 课堂总结 相交 相切 相离 1.判断下列各组直线 l 与圆 C 的位置关系： （1）； 圆 （2）； 圆 （3）； 圆 练一练 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 2：若直线 2x – y + 2 = 0 与圆 (x – 1)2 + (y – 2)2 = 4 相交，求直线被圆截得的弦长. 解：由圆的方程得：圆心坐标为 (1，2)，半径为 2； 如图，弦长 AB = 2 = . 圆心 (1，2) 到直线的距离 d = = ， l O x y r d A B 思考：说说如何用代数法求解直线被圆截得的弦长？ 知识点 2：圆的弦长与切线方程的求解 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 3：过点 P (2，1) 作圆 O：x2 + y2 = 1 的切线 l，求此切线 l 的方程