2.4.2圆的一般方程课件-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.4.2 圆的一般方程 1.掌握圆的一般方程及其特点； 2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程,并能熟练地指出圆心的位置和半径的大小；（重点） 3.能根据某些具体条件,运用待定系数法确定圆的方程；（难点） 4.初步学会运用圆的方程来解决某些实际应用问题. 圆的标准方程的形式是怎样的？ 其中圆心的坐标和半径各是什么？ 展开得 由上可知，任何一个圆的标准方程都可变形成二元二次方程，反过来，二元二次方程一定能变形成圆的标准方程吗？ 将圆的标准方程 圆的一般方程 思考：方程 和 能不能变形成圆的标准方程？ 一般地，方程 中的D，E，F满足什么条件时，这个方程表示圆？ 分析：对于方程 将其配方可得 方程表示以(1，-2)为圆心，半径为2的圆； 而方程 配方后得 ， 方程无意义，不表示任何图形. 一般地，把方程 配方可得： (1)当 时，方程表示以 为圆心， 为半径的圆； (2)当 时，方程表示一个点 ； (3)当 时，方程无解，不表示任何图形. 从上面的分析可知，任何一个圆的方程都可以写成 的形式；反过来，当 时，方程才表示一个圆，我们把它叫做圆的一般方程. 注：圆的一般式突出了代数方程的形式结构： (1) x2 和y2 系数相同，都不等于0； (2) 没有xy 这样的二次项. × √ √ √ 变式探究1 若本例中将“点C(3,-1)”改为“圆C过A,B两点且圆C关于直线y=-x对称”,其他条件不变,如何求圆C的方程? 变式探究2 将本例改为“已知圆Q过A(2,2),B(5,3),C(3,-1)三点,点M,N在圆Q上,试求△QMN面积的最大值”. 解 由例2(1)的结论可知,圆Q的方程为x2+y2-8x-2y+12=0,即(x-4)2+(y-1)2=5. 变式训练2 (1)圆心在直线y=x上,且过点A(-1,1),B(3,-1)的圆的一般方程是　 .  (2)已知一圆过P(4,-2),Q(-1,3)两点,且在y轴上截得的线段长为4 ,求圆的方程. 答案 (1)x2+y2-4x-4y-2=0 (2)解 (方法1　待定系数法) 设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0, 将P,Q的坐标分别代入上式, (方法2　几何法) 由题意得线段PQ的垂直平分线的方程为x-y-1=0, ∴所求圆的圆心C在直线x-y-1=0上, 设其坐标为(a,a-1). 求圆心坐标 （两条直线的交点）（常用弦的中垂线） 求半径 （圆心到圆上一点的距离） 写出圆的标准方程 列关于a，b，r（或D，E，F）的方程组 解出a，b，r（或D，E，F），写出标准方程（或一般方程） 几何方法 待定系数法 1.思辨解析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)圆的一般方程可以化为圆的标准方程.(　 　) (2)二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定是某个圆的方程.(　 　) (3)若方程x2＋y2－2x＋Ey＋1＝0表示圆，则E≠0.(　 　) (4)任何一个圆的方程都能写成一个二元二次方程.(　 　) 2.圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心和半径长分别为(　　) A．(4，－6)，16 B．(2，－3)，4 C．(－2，3)，4 D．(2，－3)，16 C 解析　由x2＋y2＋4x－6y－3＝0，得(x＋2)2＋(y－3)2＝16， 故圆心为(－2，3)，半径长为4. 例1 若方程x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围 是________． (－∞，1)　 解析：把方程配方得(x＋a)2＋(y＋a)2＝1－a，由条件可知1－a＞0，即a＜1. 下列方程各表示什么图形？若表示圆，求出其圆心坐标和半径长． ①x2＋y2－4x＝0；②2x2＋2y2－3x＋4y＋6＝0；③x2＋y2＋2ax＝0. 解： ①方程可变形为(x－2)2＋y2＝4，故方程表示圆，圆心为C(2,0)，半径r＝2. ②方程可变形为2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4))) eq \s\up12(2)＋2(y＋1)2＝－eq \f(23,8)，此方程无实数解．故方程不表示任何图形．