2.4.1 圆的标准方程课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版(2019）选择性必修第一册

2.4 圆的方程 2.4.1 圆的标准方程 1. 理解圆的定义，掌握圆的标准方程； 2. 能根据圆心和半径写出圆的标准方程，判断点与圆的位置关系； 3. 会用待定系数法和几何法求圆的标准方程. 新课讲授 学习目标 课堂总结 2 生活情境：观察下列生活中的物体，说说它们抽象出来的平面图形是什么？ 新课讲授 学习目标 课堂总结 知识点 1：圆的标准方程 问题 1：圆的定义是什么？如图平面直角坐标系中，如何才能确定一个圆？ 圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合； 定 点 ：圆心 A（确定圆的位置）； 定 长 ：半径 r （确定圆的大小）； O x y A r 平面直角坐标系中：如果一个圆的圆心坐标和半径确定了，圆就唯一确定了. 小结：确定圆的几何要素是：圆心和半径. 新课讲授 学习目标 课堂总结 问题 2：如图，已知圆心 A 的坐标为 (a，b)，半径为 r，设圆上任意一点 M (x，y)，如何求该圆的方程？ O x y A r M 根据两点间距离公式得： |MA| = = r， 在平面直角坐标系中，⊙A是以下点的集合P = {M| |MA| = r}， 两边平方得： ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = r 2（1） 思考：⊙A上的任意一点均满足方程（1）吗？反之，满足方程（1）的点都在圆上吗？ 新课讲授 学习目标 课堂总结 概念讲解 圆的标准方程： ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = r 2，圆心 A (a，b)，半径 r. （1）若点M (x，y)在⊙A上，点M 的坐标就满足方程； （2）若点M坐标(x，y)满足方程，则点M与圆心A间的距离为r，故点M在⊙A上； O x y A r M 思考：圆心在坐标原点，半径为 r 的圆的标准方程是什么？ 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 1：已知一圆的圆心为 C (-3，4)，半径是，写出圆的标准方程. 典例剖析 解：已知圆的标准方程为 ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = r 2， 代入圆心和半径得：( x + 3 ) 2 + ( y − 4 ) 2 = 5， 故圆心为 C (-3，4)，半径是 的圆的标准方程为： ( x + 3 ) 2 + ( y − 4 ) 2 = 5. 新课讲授 学习目标 课堂总结 练一练 1. 直接说出下列圆的标准方程的圆心坐标和半径： （1）( x − 1 ) 2 + ( y − 2 ) 2 = 9； （2）( x + 5 ) 2 + ( y + 1 ) 2 = 52； （3）( x − 3 ) 2 + ( y + 7 ) 2 = 16； （4） x2 + y2 = 10. 新课讲授 学习目标 课堂总结 知识点 2：点与圆的位置关系 例 2：求圆心为 A (2，−3)，半径为 5 的圆的标准方程，并判断点 M1 (5，−7)， M2 (−2，−1) 是否在这个圆上. （根据点的坐标与圆的方程的关系，只要点的坐标满足圆的方程，点就在圆上） 解：将圆心坐标和半径代入圆的标准方程得：( x − 2 ) 2 + ( y + 3 ) 2 = 25， 将点M1 (5，−7)，M2 (−2，−1) 分别代入方程 (x − 2) 2 + (y + 3) 2 = 25 的左边， 得：(5 − 2) 2 + (−7 + 3) 2 = 25，左右两边相等，点M1的坐标满足圆的方程； (−2 − 2) 2 + (−1 + 3) 2 = 20，左右两边不相等，点M1的坐标不满足圆的方程； 综上，圆的标准方程为 (x − 2) 2 + (y + 3) 2 = 25；点M1在圆上，点M2不在圆上. 新课讲授 学习目标 课堂总结 思考：点 A (1，1)，B (4，0)，C (，) 同圆 x2 + y2 = 4 的关系如图所示，则 |OA|，|OB|，|OC| 同圆的半径 r = 2 是什么关系？ |OA| < 2，|OB| > 2，|OC| = 2. 思考：结合上述实例，说说该如何判断点M (x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2 = r2 的位置关系？ 新课讲授 学习目标 课堂总结 点 M (x0，y0) 与圆 C：(x－a)2＋(y－b)2 = r2 的位置关系： 归纳小结 位置关系 图示 距离判断 方程判断 点 M 在圆上 |CM| = r (x0－a)2 + (y0－b)2 = r2 点 M 在圆外 点 M 在圆内 O x y C r M O x y C M O x y C M |CM| > r (x0－a)2 + (y0－b)2 > r2 |CM| < r (x0－a)2 + (y0－b)2 < r2 新课讲