专题三 轴对称--考点5 最短路径问题（2） 专项训练 2023—2024学年北师大版数学八年级上册

专题三 轴对称 考点5 最短路径问题 考法3 “两定点＋两动点”型最短路径问题 典例精析 [例]某中学八（2）班举行文艺晚会，桌子摆成如图所示两直排（图中的A0，BO），AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到 D处座位上.请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短. 命题点 轴对称——最短路线问题， 规范解答 解：如图，则小明沿C—P—Q—D的路线行走，路程最短 方法归纳 问题：P，Q是∠AOB内两定点，在OA上找一点C，OB上找一点D，使四边形PQDC的周长最小。 方法：如图，分别作点P关于OA，点Q关于OB的对称点分别为P＇，Q＇，连接P＇Q＇，分别交OA，OB于点C，D，连接PC，CD，DQ，PQ，点C，D即为所求 结论：PC＋CD＋DQ的最小值为线段P＇Q＇的长，则四边形PQDC的周长的最小值为P＇Q＋PQ的长. 针对训练 1.如图，请在，2上找出M，N两点，使四边形PQNM 的周长最小，在图上画出M，N 的位置.（不写画法，保留作图痕迹） 2. 如图，为了交通安全工作，某交警执勤小队从A地出发，先到公路上设卡检查，再到公路上设卡检查，最后再到B地执行任务，他们应如何走才能使总路程最短. 3.若等腰三角形的两条边长分别为15 和7，则它的周长等于（ ）。 A. 22 B.29 C.37 D.29或37 4.如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝70°，AB的垂直平分线分别交AB，AC 于点D，E，连接BE，则∠EBC 的大小为（ ） A.30° B.40° C.50° D.80° 考法4 造桥选址问题 典例精析 [例]如图，A 和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A 地到B地的路径AMNB 最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直） 命题点 轴对称——最短路线问题. 规范解答 解：如图，平移点A到点，使A等于河宽连接B交河岸b于点N，作桥MN，连接AM.此时AM＋MN＋BN 最小. 理由：另任作桥，连接A，B，.由平移的性质可知，AM＝N，A＝MN＝，A＝ AM＋MN＋BN 可转化为 A＋B，而A＋＋B可转化为A＋A＋B. 在△B 中，＋B＞B， 因此A＋＋B＞AM ＋MN＋BN. 方法归纳 问题：如图1，已知∥，，之间的距离为d，在，上分别找M，N两点，使得MN⊥，且AM＋MN＋NB的值最小。 方法：如图2，将点A向下平移d个单位长度到点A＇，连接A＇B与直线交于点N，过点N作NM⊥于点M 结论：平移点A，构造平行四边形将AM，NB转化在同一条直线上，此时AM＋MN＋NB的最小值为A＇B＋d. 针对训练 1.已知A 地和B 地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥 MN，使从A 地到 B 地的路径AMNB 最短的是（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）（ ）。 2. 课堂上，老师出示了这样一道题：如图，从村庄A到村庄B要经过一条河（河的两岸平行），现要在河上建一座桥（桥垂直于河的两岸），应如何选择桥的位置，才能使从村庄A 到村庄B 的路程最短？请在图中画出桥的位置. 3.一个三角形的两边长分别为5 和 9，设第三边上的中线长为x，则x 的取值范围是（ ）。 A.x＞5 B.x＜7 C.4＜x＜14 D.2＜x＜ 7 4.如图，在△ABC中，∠BAC＞90°，AB 的垂直平分线交BC于点E，AC 的垂直平分线交BC 于点F，连接AE，AF.若BC＝10，则△AEF的周长是（ ）。 A. 5 B.10 C.15 D.20 5.在△ABC中，AB＝AC，D是AB 上的一点，且CD＝AD＝BC，则∠ACB＝（ ）。 6. 若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则等腰三角形底角的度数为（ ）。 7.如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD是∠BAC 的平分线.若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC＋PQ的最小值是（ ）。 1 学科网（北京）股份有限公司 $$