专题04立方根和开立方、n次方根（2大考点+6种题型）-【寒假自学课】2024年七年级数学寒假提升学与练（沪教版）

学科网（北京）股份有限公司 专题04立方根和开立方、n次方根（2大考点+6种题型） 思维导图 核心考点与题型分类聚焦 考点一、开立方 考点二、开次方 题型一：立方根概念理解 题型二：求一个数的立方根 题型三：已知一个数的立方根，求这个数 题型四：立方根的实际应用 题型五：算术平方根和立方根的综合应用 题型六：n次方根 考点一、开立方 1、定义：求一个数的立方根的运算叫做开立方． 2、如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根，用“”表示，读作“三次根号”，中的叫做被开方数，“3”叫做根指数． ★注意： 1） 任意一个实数都有立方根，而且只有一个立方根；负数有立方根； 2） 零的立方根是0； 3） 一个数的立方根是它本身，则这个数是0，1和-1． 考点二、次方根 1、求一个数的次方根的运算叫做开次方．叫做被开方数，叫做根指数． 2、 如果一个数的次方（是大于1的整数）等于，那么这个数叫做的次方根． 3、 当为奇数时，这个数为的奇次方根；当为偶数时，这个数为的偶次方根． ★注意： 1） 实数的奇次方根有且只有一个，用“”表示．其中被开方数是任意一个数，根指数是大于1的奇数； 2） 正数的偶次方根有两个，它们互为相反数，正次方根用“”表示，负次方根用“”表示．其中被开方数，根指数是正偶数（当时，在中省略）； 3） 负数的偶次方根不存在； 4） 零的次方根等于零，表示为． 题型一：立方根概念理解 【例1】．（2024下·全国·七年级假期作业）给出下列四个说法：①一个数的平方等于1，那么这个数就是1；②4是8的算术平方根；③平方根等于它本身的数只有0；④8的立方根是．其中正确的是（    ） A．①④ B．①②③ C．②③ D．③ 【变式1】．（2023下·七年级课时练习）下列说法中，错误的是（    ） A．8的立方根是±2 B．4的算术平方根是2 C．的平方根是±3 D．立方根等于它本身的数是±1，0 【变式2】．（2023上·河北沧州·七年级统考期中）如果一个数的立方等于它本身，那么这个数是（    ） A．1 B． C．1或 D．1、或0 题型二：求一个数的立方根 【例2】．（2023上·浙江温州·七年级校联考期中）的立方根是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（2021下·上海徐汇·七年级校考期中）如果，那么 ． 【变式2】．（2023上·浙江杭州·七年级校考期中）计算：的值等于 ． 【变式3】．（2023下·上海静安·七年级上海市回民中学校考期中）已知是正的平方根，是的立方根，求的立方根的值． 【变式4】．（2023下·上海宝山·七年级校考阶段练习）解方程： 【变式5】．（2023下·上海宝山·七年级统考期末）计算：． 题型三：已知一个数的立方根，求这个数 【例3】．（2021下·上海宝山·七年级校考期中）实数a的立方根是，则a＝ ． 【变式1】．（2023下·上海·七年级专题练习）4的平方根是 ；算术平方根是 ；是 的立方根． 【变式2】．（2023下·七年级单元测试）已知，则 【变式3】．（2023下·上海浦东新·七年级校考期末）如果，那么 ． 【变式4】．（2021下·上海松江·七年级校考期中）解方程：，则 ． 题型四：立方根的实际应用 【例4】．（2022下·上海·七年级专题练习）填写下表，并回答问题： a … 0.000001 0.001 1 1000 1000000 … … … （1）数a与它的立方根的小数点的移动有何规律？ （2）根据这个规律，若已知，求a的值． 【变式1】．（2021下·上海浦东新·七年级校考期中）已知一个正方体的棱长是，要再做一个正方体，使它的体积是原正方体的体积的倍，求新做的正方体的棱长． 【变式2】．（2022下·上海·七年级专题练习）【阅读材料】 数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：“39”．邻座的乘客十分惊奇，忙间其中计算的奥妙． 你知道怎样迅速准确的计算出结果吗？请你按下面的步骤试一试： 第一步：∵，，， ∴． ∴能确定59319的立方根是个两位数． 第二步：∵59319的个位数是9， ∴能确定59319的立方根的个位数是9． 第三步：如果划去59319后面的三位319得到数59， 而，则，可得， 由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39． 【解答问题】 根据上面材料，解答下面的问题 （1）求110592的立方根，写出步骤． （2）填空：__________． 题型五：算术平方根和立方根的综合