7.4.6形积变化问题课件2023-2024学年青岛版数学七年级上册

第7章 一元一次方程 7.4 一元一次方程的应用 第6课时 形积变化问题   问题引入 一个高50毫米，底面直径为120毫米的圆柱体钢件熔化后锻造成一个底面直径为60毫米的圆柱体，求该圆柱体的高. 分析： 锻造前的体积为____________________；锻造后的体积为________________； 题目中的等量关系为__________________________.   锻造前的体积=锻造后的体积 圆柱的体积V=______； πr²h 设该圆柱体的高为x毫米. 问题解决 一个高50毫米，底面直径为120毫米的圆柱体钢件熔化后锻造成一个底面直径为60毫米的圆柱体，求该圆柱体的高. 解： 设锻造后的圆柱体的高为x毫米.   解这个方程，得 x=200. 经检验，x=200(毫米)符合题意. 所以，该圆柱体的高是200毫米. 知识总结 等积变形问题 类型 特点 基本关系 等积变形问题 一个几何体的形状发生变化，但变化前后的体积不变(相等)，可以根据体积不变列方程.如工件锻造过程中，形状改变了，但其体积不变；一定量的水无论盛在什么形状的容器内其体积不变. 变形前的体积=变形后的体积 典例训练 一个圆柱形容器的内半径为3厘米，内壁高30厘米，容器内盛有高度为15厘米的水.现将一个底面半径为2厘米、高18厘米的金属圆柱竖直放入容器内，容器内的水面将升高多少厘米？ 分析： 一个金属圆柱竖直放入容器内，会出现两种可能： （1）容器内的水面升高后没有淹没放入的金属圆柱； （2）容器内的水面升高后淹没放入的金属圆柱； 因此列方程求解时要分两种情况. 典例训练 一个圆柱形容器的内半径为3厘米，内壁高30厘米，容器内盛有高度为15厘米的水.现将一个底面半径为2厘米、高18厘米的金属圆柱竖直放入容器内，容器内的水面将升高多少厘米？ 解： 设容器内放入金属圆柱后水面的高度为x厘米. （1）如果容器内的水面升高后没有淹没放入的金属圆柱， 那么根据题意，得 π·(3²-2²)·x=π·3²×15. 解这个方程，得 x=27. 因为27厘米＞18厘米，这表明此时容器内的水面已淹没了 金属圆柱，不符合假定，应舍去. 解： 典例训练 一个圆柱形容器的内半径为3厘米，内壁高30厘米，容器内盛有高度为15厘米的水.现将一个底面半径为2厘米、高18厘米的金属圆柱竖直放入容器内，容器内的水面将升高多少厘米？ （2）如果容器内的水面升高后淹没放入的金属圆柱， 那么根据题意，得 π·3²·x=π·3²×15+π·2²×18. 解这个方程，得 x=23. 所以23-15=8. 经检验，x=8(厘米)符合题意. 所以，容器内的水面升高8厘米. 特别提醒 解决等积变形问题，要记住常见的与体积有关的公式： （1）长方体体积=长×宽×高； （2）圆柱体体积=底面积×高. 分清所给的是半径还是直径，切不可马虎大意. 注意区分两种不同的情况. 学以致用 在一个底面直径为5厘米，高为18厘米的圆柱形玻璃瓶内装满水，再将瓶内的水倒入一个底面直径为6厘米，高为13厘米的圆柱形杯中. （1）能否装满圆柱形杯子？为什么？ 解：   学以致用 在一个底面直径为5厘米，高为18厘米的圆柱形玻璃瓶内装满水，再将瓶内的水倒入一个底面直径为6厘米，高为13厘米的圆柱形杯中. （2）若装不下，那么瓶内的水还有多高？若未能装满，求杯内水面离杯口的距离. 解：   当堂检测 1.如图，在水平桌面上有甲、乙两个内部呈圆柱形的容器，内部底面面积分别为80cm²、100cm²，且甲容器装满水，乙容器是空的.若将甲中的水全部倒入乙中，则乙中的水面高度比原来甲中的水面高度低了8cm，则甲容器的容积为（ ） 甲 乙 A.1 280cm³ B.2 560cm³ C.3 200cm³ D.4 000cm³   C 当堂检测 2.（1）如果三个连续奇数的和是91，求这三个连续奇数； （2）如果三个连续奇数的和是47，求这三个连续奇数. 解:（1）设中间一个奇数为2n+1，则另两个奇数 分别为2n-1和2n+3. 根据题意，得2n-1+2n+1+2n+3=81. 解这个方程，得n=13. 经检验，n=13符合题意. 所以2n-1=25，2n+1=27，2n+3=29. 所以，这三个连续奇数分别为25，27，29. 当堂检测 2.（1）如果三个连续奇数的和是91，求这三个连续奇数； （2）如果三个连续奇数的和是47，求这三个连续奇数.   当堂检测 3.一种饮水机上的圆柱形水桶的内径为25厘米，内壁高为35厘