第二章 第9讲 函数模型及其应用-【勤径学升】2025年高考数学一轮总复习（人教A版）

国高考一轮总复习·数学，RJA 第9讲 函数模型及其应用 课标要求 L.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异，理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术 语的含义 2.通过收集、阅读一些现实生活、生产实际等数学模型，会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规 律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用. 必备知识 夯实四基。 [对应倍案P373 知识梳理 常用结论 1.六种常见的函数模型 1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变：“指 函数模型 函数解析式 数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指 一次雨 数爆炸”来形容：“对数增长”先快后慢，其增长量 f(x)=a.r+b(a,b为常数，a≠0) 数模型 越来越小 二次函 fx)=a.x+br十c(a,b,c为常数，a≠0) 数模型 2.“对勾”函数f(x)=x+4(a>0)在(0，十ee)上 指数函 f(x)=bg+c(a,b,e为常数， 的性质：在(0，√a]上单调递减，在[a,+∞)上 数模型 a>0且a≠1，≠0) 对数函 f(r)=blog r+c 单调递增，当x=√a时，f(x)取最小值2√a. 数模型 (a,b,c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 诊断自测 幂函数 f代x》=a.r+(a,b.n为常数，a≠0，程≠0) 思考辨析 模型 1.判断（在括号内打“√”或“×”） “对勾”函 y=r+4(a为常数，a>0) 数模型 (1)某种商品进价为每件100元，按进价增加 2.三种函数模型性质比较 10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则 每件还能获利. () y=a'(a>10 y=log r(a>1) y=(n>0) 在(0.+09) (2)函数y=2的函数值比y=x2的函数值大. 包 回 上的单调性 () 增长速度 回 相对平稳 (3)不存在x。,使a<x0<logx () 随x值增大，图 随x值增大，图 随：值变化而 (4)在(0，十o)上，随着x的增大，y=a(a>1) 图象的变化象与团 象与四 不同 接近平行 接近平行 的增长速度会超过并远远大于y=x(a>0)的 3,用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程 增长速度 () 化归 教材衍化 实际问题 →函数模型 2.(人A必修第一册P152倒6改编)下面儿个函 运算推理 数模型中，能比较近似地反映出图中时间与某种 实际问题的解，解释说明 函数模型的解 传染性疾病的治愈率关系的是 () ®48 第二章函数的概念与基本初等函数何 百分比 性声强的 20% A.10倍 B.100倍 15% 治血率 C.1000倍 10% D.10000倍 5% 易错自纠 们% %名史g装中口期 4.(指数函数，对数函数性质不明政误)某种病毒的 个回治愈羊趋势网 繁殖速度快、存活时间长.已知a个这种病毒在t 天后将达到ae"个，且经过4天后病毒的数量会 A.y=ax+b B.y=ax'+bx+c 达到原来的2倍.若再过t天后病毒的数量达到 C.y=a' 原来的8倍，则1= B.8 D.y=log. A.4 C.12 D.16 3.(人A必修第一#P155习题4.5T9改编)声强 级1（单位：dB)与声强I的函数关系式为L= 5.(平均增长率概念不请致误)某市生产总值连续 两年持续增加.第一年的增长率为p,第二年的 10g(10),若女商音的声强级是5B.普通 增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增 女性的声强级为45dB,则女高音声强是普通女 长率为 提升能力 考点剖析⊙ 对应普案P373 考点 用函数的图象刻画变换过程（师生共研） [例1](1)如图所示，△OAB是边长为2的等边 (2)某食品的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度 三角形，直线x=t截这个三角形位于此直线左 64,x0, 方的图形面积为y(见图中阴影部分)，则函数 x(单位：℃)满足函数关系t= 且该 2+,x>0, y=∫(t)的大致图象为 ( 食品在4℃的保鲜时间是16小时.已知甲在某 y 日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室 外，且此日的室外温度随时间变化如图所示，给 出以下三个结论，其中，所有正确结论的个数是 福度/℃ 12 3 10 0 等9112iB45时间小时 ①该食品在6℃的保鲜时间是8小时： ②当x∈[0,6]时，该食品的保鲜时间t随着x 增大而减少： 49 国高考一轮总复习·数学，RJA ③到了此日15时，甲所购买的食品还在保鲜时 间内 A.2 B.3 C.0 D.1 感悟方法 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的 方法： (1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模 秒 3/秒 型时，先建立函数模型，再结合模型选图象 D (2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢 2.设甲，乙两地的距离为a(a>0),小王